摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)中的信息技術(shù)應(yīng)定位于數(shù)學(xué)功能基礎(chǔ)上的教學(xué)工具，以反映數(shù)學(xué)學(xué)科特性。數(shù)學(xué)教學(xué)需要注重圖形圖像呈現(xiàn)、數(shù)值計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算以及編程等基本數(shù)學(xué)功能。數(shù)學(xué)功能基礎(chǔ)上的教學(xué)加工大致有封閉與開放兩種方式。教師要能充分發(fā)揮各類功能的優(yōu)勢(shì)，以幫助學(xué)生理解學(xué)習(xí)內(nèi)容為目的，將數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)有機(jī)融合。

 

    關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)，信息技術(shù)，數(shù)學(xué)功能
 

    一、引言

    信息技術(shù)的飛速發(fā)展是改進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要機(jī)遇。但是我們不應(yīng)當(dāng)把信息技術(shù)停留在評(píng)價(jià)、熱情支持以及懷有希望的階段，而應(yīng)該進(jìn)行一些實(shí)在分析，只有這樣才能真正地解決某些教學(xué)問(wèn)題[1]。深入數(shù)學(xué)學(xué)科的信息技術(shù)[2]、整合技術(shù)的學(xué)科教學(xué)知識(shí)（簡(jiǎn)稱TPACK）[3]等理念有助于我們更好地理解數(shù)學(xué)教學(xué)中的信息技術(shù)。這些理念主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：首先，要不要用技術(shù)、用什么技術(shù)以及如何用技術(shù)需要考慮具體內(nèi)容的教學(xué)及課堂情境，力求使課內(nèi)與課外、教師傳授與學(xué)生自主探究達(dá)成一種平衡。也就是說(shuō)，信息技術(shù)的使用是一個(gè)劣構(gòu)問(wèn)題。教師僅僅了解一般教育技術(shù)的原理、策略還不夠。其次，為了充分體現(xiàn)信息技術(shù)的數(shù)學(xué)教育價(jià)值，教師對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的信息技術(shù)本身要有較為深入的理解與掌握，以便信息技術(shù)與課程的互動(dòng)能達(dá)到流暢程度。盡管讓教師在教育和技術(shù)之間穿梭并不容易，但掌握技術(shù)不是別人的事情。為了能更好地貫徹這兩個(gè)理念，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中的信息技術(shù)是數(shù)學(xué)功能基礎(chǔ)上的教學(xué)工具。

    二、數(shù)學(xué)教學(xué)中的信息技術(shù)

    當(dāng)前，數(shù)學(xué)課堂上的信息技術(shù)過(guò)分倚重普適類信息技術(shù)，缺少數(shù)學(xué)味，更無(wú)法反映數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)。信息技術(shù)的功能更多地體現(xiàn)在一般教學(xué)功能（如電子白板，PPT演示）、多媒體功能（如音樂(lè)、顏色）、淺層交互功能（如瀏覽頁(yè)面）等方面。針對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的信息技術(shù)應(yīng)該有專門的分類和討論。

    我們認(rèn)為，按與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)程度分，用于數(shù)學(xué)教學(xué)的信息技術(shù)大致有三類。一是普適類的數(shù)學(xué)軟件。如計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)（簡(jiǎn)稱CAS），數(shù)學(xué)百科電子詞典等。二是普適類的數(shù)學(xué)教學(xué)工具（或平臺(tái)）。如Z+Z智能平臺(tái)、幾何畫板、數(shù)學(xué)科目的題庫(kù)系統(tǒng)或備課系統(tǒng)等。三是反映特定數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的課件，包含了常見的CAI的七種類型[4]。如教學(xué)演示課件、微世界環(huán)境、微課視頻等。

    三類技術(shù)中，普適類數(shù)學(xué)軟件的數(shù)學(xué)功能最強(qiáng)，但教育功能最弱，通常需要教學(xué)加工。而課件，即第三類信息技術(shù)，比較關(guān)注信息技術(shù)的教學(xué)功能表現(xiàn)。信息技術(shù)應(yīng)該是數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的工具還是教學(xué)為基礎(chǔ)的工具[5]？事實(shí)上，這兩者各有優(yōu)缺點(diǎn)，前者數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)移能力弱，即教育性不足；后者難以作為學(xué)生的認(rèn)知工具，且缺少通用性，軟件設(shè)計(jì)效益低。為了能彌合兩者的距離，專家們研究出了諸如Z+Z智能平臺(tái)之類的普適類數(shù)學(xué)教學(xué)工具。許多CAS在后來(lái)的版本中也加入了大量便于數(shù)學(xué)教學(xué)開發(fā)和加工的元素。針對(duì)特定內(nèi)容的數(shù)學(xué)課件也在通用性上不斷增強(qiáng)，如注重探究性、交互性課件的開發(fā)等。

    三類信息技術(shù)都可以實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的三種水平的支持，即演示水平、驗(yàn)證水平和探究水平，如數(shù)學(xué)工具中的大百科詞典可以作為資料支持或演示之用，而數(shù)學(xué)軟件包Mathematica可以作為數(shù)學(xué)探究環(huán)境。因此，由演示到探究也可以作為以上分類的另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)（或維度）。

    三類信息技術(shù)都能體現(xiàn)一定的數(shù)學(xué)功能與教育價(jià)值。但數(shù)學(xué)教學(xué)需要抽象、復(fù)雜的圖形圖像、數(shù)值及符號(hào)表達(dá)與處理，以滿足較高層次數(shù)學(xué)思維表征需求；需要嚴(yán)謹(jǐn)、精確和形式化的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程描述；需要豐富的與數(shù)學(xué)研究相適應(yīng)的探索性認(rèn)知環(huán)境。因而，我們認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)中的信息技術(shù)應(yīng)以數(shù)學(xué)功能為基礎(chǔ)，在設(shè)計(jì)和開發(fā)目的、內(nèi)容方面能反映數(shù)學(xué)學(xué)科特性，以更好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育價(jià)值。
    三、信息技術(shù)的數(shù)學(xué)功能及其教育價(jià)值

    信息技術(shù)可以實(shí)現(xiàn)的數(shù)學(xué)功能很多。數(shù)學(xué)教學(xué)主要以圖形圖像呈現(xiàn)、數(shù)值計(jì)算與符號(hào)運(yùn)算、編程等作為主要功能。數(shù)學(xué)教學(xué)中，它們的教育價(jià)值應(yīng)

    該得到充分體現(xiàn)。下面以微積分教學(xué)為例進(jìn)行闡述。

    1．圖形圖像演示

    總體而言，目前的數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是概念教學(xué)是“重形式定義，輕意象表征”[6]的。由于擔(dān)心過(guò)多使用圖形圖像可能會(huì)影響抽象思維，許多教師不敢用。事實(shí)上，圖形圖像的適當(dāng)運(yùn)用能提高學(xué)習(xí)效率，也能體現(xiàn)教師的教學(xué)智慧。數(shù)學(xué)教學(xué)中的“圖形圖像”主要是函數(shù)繪圖和動(dòng)態(tài)幾何圖形兩方面。它的作用主要是促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念和數(shù)學(xué)問(wèn)題的整體理解，能幫助其洞察所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，尋找解決復(fù)雜問(wèn)題的途徑。如教學(xué)導(dǎo)數(shù)概念時(shí)，需要將函數(shù)、其導(dǎo)函數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)甚至更高階數(shù)的圖像進(jìn)行比較、分析。用圖像來(lái)解釋復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、洛必達(dá)法則等也應(yīng)該能在教材或教學(xué)中得到體現(xiàn)，讓學(xué)生理解用它們進(jìn)行運(yùn)算的合理性或理由，而不僅僅學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算技能與技巧。

    2．?dāng)?shù)值計(jì)算

    傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)更多表現(xiàn)的是數(shù)學(xué)的連續(xù)、形式化的一面，給學(xué)生留下抽象、脫離生活實(shí)際的印象。事實(shí)上，數(shù)值計(jì)算功能和繪圖功能一樣具有理解數(shù)學(xué)知識(shí)、探尋解題途徑等作用，理應(yīng)得到重視[7]。數(shù)值化是由有限認(rèn)識(shí)無(wú)限的重要方式，也是聯(lián)系一般化與特殊化的重要紐帶。運(yùn)用數(shù)值表理解極限、用數(shù)據(jù)估計(jì)誤差、通過(guò)離散形態(tài)考察函數(shù)的連續(xù)性態(tài)、尋找數(shù)學(xué)反例等等都應(yīng)該在教學(xué)中得到廣泛應(yīng)用。微積分中的廣義積分與無(wú)窮級(jí)數(shù)、函數(shù)極限與數(shù)列極限的密切聯(lián)系更表明連續(xù)化與數(shù)值化應(yīng)該融為一爐。教學(xué)實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)過(guò)于形式化的表達(dá)反而看不清數(shù)學(xué)知識(shí)的本來(lái)面貌，而將這些內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)值計(jì)算，會(huì)增進(jìn)理解。例如，利用ε-δ定義證明函數(shù)極限時(shí)，學(xué)生都知道，關(guān)鍵要找出δ。他們也能熟練地利用放縮技巧和限定δ的方法進(jìn)行操作，找到δ。但進(jìn)一步問(wèn)：能通過(guò)計(jì)算（通常情況下需要計(jì)算工具的支持），找到最大的δ？事先限定δ的鄰域能否再大一點(diǎn)？學(xué)生并不熟練。這時(shí)，只要給定幾個(gè)具體的ε值，計(jì)算出δ，學(xué)生會(huì)對(duì)證明過(guò)程有更深刻的認(rèn)識(shí)，不至于依葫蘆畫瓢。

    3．符號(hào)運(yùn)算

    符號(hào)運(yùn)算是信息技術(shù)數(shù)學(xué)功能重要體現(xiàn)。比起數(shù)值計(jì)算，符號(hào)運(yùn)算不必糾結(jié)于誤差控制。無(wú)論是輸入、處理還是顯示，它能更好地與注重形式化、符號(hào)化的數(shù)學(xué)學(xué)科相匹配，進(jìn)而滿足學(xué)生在更高抽象層次上進(jìn)行思考與探究，使形式化的符號(hào)也能成為學(xué)生高層次的數(shù)學(xué)認(rèn)知基礎(chǔ)，也可以成為導(dǎo)引直覺(jué)與發(fā)現(xiàn)的材料，而不僅限于數(shù)值與圖形[1]。簡(jiǎn)單地，如二項(xiàng)式定理中系數(shù)的探討。微積分教學(xué)中，符號(hào)運(yùn)算的功能更能充分體現(xiàn)。如函數(shù)極限lim（x）=Af  x→xo定義可用計(jì)算機(jī)可識(shí)別的邏輯符號(hào)表達(dá)并運(yùn)算：坌（εε＞0）→堝（δδ>0∧）坌（x0<|x-x0|<δ→|f（x） -A|<ε））），這有助于學(xué)生理解定義中的邏輯關(guān)系。

    4．編程

    編程并非只是計(jì)算機(jī)技術(shù)專業(yè)人員的事務(wù)。數(shù)學(xué)領(lǐng)域與計(jì)算機(jī)領(lǐng)域有著天然的聯(lián)系。數(shù)學(xué)教師了解算法、編程思想和一種計(jì)算機(jī)語(yǔ)言是必要的，也是可行的。程序設(shè)計(jì)是通向?qū)嶒?yàn)數(shù)學(xué)之路[5]。僅僅通過(guò)一步到位的繪圖或計(jì)算并不能挖掘數(shù)學(xué)信息技術(shù)的教育潛力。有了編程可以表現(xiàn)教學(xué)中的更加復(fù)雜的活動(dòng)過(guò)程（如添加參數(shù)調(diào)節(jié)，拖動(dòng)數(shù)學(xué)對(duì)象等），可以把復(fù)雜、抽象的推理過(guò)程轉(zhuǎn)化為易理解的機(jī)械化過(guò)程（如選代，構(gòu)造）。

    目前許多數(shù)學(xué)軟件或教學(xué)軟件提供的編程環(huán)境已變得非常簡(jiǎn)單，復(fù)雜的數(shù)學(xué)功能只需一個(gè)簡(jiǎn)單、封裝好的函數(shù)甚至可視化的控件對(duì)象即可實(shí)現(xiàn)，是一種廣義上的程序設(shè)計(jì)。這樣的編程環(huán)境有助于教師將編程重心放在信息技術(shù)的數(shù)學(xué)功能及教學(xué)功能表現(xiàn)方面，而不是過(guò)程化語(yǔ)言的構(gòu)建技巧上。

    實(shí)際教學(xué)應(yīng)該將幾種功能相結(jié)合（典型的如數(shù)形結(jié)合）才能更加充分發(fā)揮教育效能。目前許多專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件或數(shù)學(xué)教學(xué)平臺(tái)已有一整套完善的界面交互設(shè)計(jì)功能，便于把教學(xué)設(shè)計(jì)用技術(shù)以“所見即所得”的方式表達(dá)出來(lái)。用它們制作數(shù)學(xué)功能強(qiáng)大、針對(duì)具體教學(xué)內(nèi)容的課件也比傳統(tǒng)方法更容易一些。

    四、數(shù)學(xué)功能的兩種教學(xué)加工方式

    數(shù)學(xué)教學(xué)中，上述數(shù)學(xué)功能的教學(xué)加工方式大致有兩種：第一種方式是教學(xué)中常見的，即將教學(xué)內(nèi)容及策略與數(shù)學(xué)功能融為一體，制作成固定操作和呈現(xiàn)模式的課件。第二種方式是教學(xué)內(nèi)容及策略與數(shù)學(xué)功能分離。例如，學(xué)習(xí)“利用定積分求平面圖形面積”時(shí)，信息技術(shù)可以幫助師生完成這樣的工作：①給出任意兩個(gè)函數(shù)；②用計(jì)算機(jī)繪圖工具畫出它們圖形，觀察其形狀及交點(diǎn)個(gè)數(shù)；③用CAS求解方程，求出所有交點(diǎn)的坐標(biāo)；④用CAS計(jì)算交點(diǎn)之間的積分；⑤求各段積分和。無(wú)論是函數(shù)繪圖、方程求解還是積分運(yùn)算，數(shù)學(xué)功能的表現(xiàn)都是以獨(dú)立的工具存在，就像粉筆一樣。即使上述教學(xué)設(shè)計(jì)有所改變，如改變函數(shù)類型、個(gè)數(shù)，所需的數(shù)學(xué)功能或工具仍可適用。這無(wú)疑增強(qiáng)了信息技術(shù)應(yīng)用的靈活性。

    信息技術(shù)的教育價(jià)值體現(xiàn)在具體的教學(xué)情境中。無(wú)論哪種方式，只要教師的教學(xué)設(shè)計(jì)與其所用的信息技術(shù)的潛在教育價(jià)值同步，就能很好地將數(shù)學(xué)形態(tài)的信息技術(shù)教育化。當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中，第一種加工方式雖然常見，制作和運(yùn)用方法也很成熟。但這種加工方式不但效率不高，而且其固定性與封閉性不便于課件中的數(shù)學(xué)功能的靈活展現(xiàn)，不能滿足深層次數(shù)學(xué)思維的需求。因此，信息技術(shù)的數(shù)學(xué)功能應(yīng)以更加開放的、獨(dú)立的形態(tài)得到應(yīng)用，甚至以“無(wú)課件”的方式得到應(yīng)用，就像直接用字處理軟件環(huán)境進(jìn)行作文教學(xué)一樣。只有這樣，數(shù)學(xué)教學(xué)中的信息技術(shù)才可能真正成為學(xué)生的認(rèn)知工具、思維工具。同時(shí)，這也是使數(shù)學(xué)教學(xué)與信息技術(shù)整合更加有效的重要手段。

    五、數(shù)學(xué)教學(xué)中的信息技術(shù)應(yīng)用建議

    1．技術(shù)角度：既要了解各種數(shù)學(xué)功能的教學(xué)優(yōu)勢(shì)與缺陷，又要防止“功能固著”

    實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)功能的各種信息技術(shù)有自己的傾向、偏見和內(nèi)在屬性，這使它們?cè)诰唧w的教學(xué)任務(wù)中有比其它技術(shù)更加適用的地方。同時(shí)，現(xiàn)代信息技術(shù)與傳統(tǒng)教技術(shù)不一樣，具有功能不透明，發(fā)展變化快等特點(diǎn)。同樣的《幾何畫板》軟件，既可以用于作為制作演示課件的平臺(tái)，也可用于學(xué)習(xí)的探究；既可用于平面幾何，也可以用于解析幾何甚至大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)。智能教學(xué)平臺(tái)、CAS等更是如此。所以，教師在了解各種數(shù)學(xué)功能的同時(shí)，也要能不斷跟蹤數(shù)學(xué)信息技術(shù)發(fā)展?fàn)顩r，努力挖掘信息技術(shù)的教學(xué)潛力。這對(duì)教師提出了較高的信息技術(shù)能力要求。

    2．教學(xué)角度：增進(jìn)理解

    數(shù)學(xué)教學(xué)中，使用數(shù)學(xué)功能的目的多種多樣。但我們認(rèn)為，促進(jìn)學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)的目的尤為重要。“說(shuō)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、方法或事實(shí)是徹底地理解了，是指它和現(xiàn)有的‘智力網(wǎng)絡(luò)’是由更強(qiáng)的或更多的聯(lián)系聯(lián)結(jié)著”。學(xué)生對(duì)抽象知識(shí)的內(nèi)部表征應(yīng)該以豐富、獨(dú)特、具體的形象存在。通過(guò)適當(dāng)信息技術(shù)支持，可以將這些表征與聯(lián)系外化，加強(qiáng)聯(lián)結(jié)，促進(jìn)“頓悟”與理解。數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容較抽象。教學(xué)過(guò)程忽視理解，容易導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的機(jī)械化。而信息技術(shù)的數(shù)學(xué)功能能夠很好地實(shí)現(xiàn)這些重要數(shù)學(xué)概念或活動(dòng)過(guò)程的符號(hào)、數(shù)值和圖形的表征與關(guān)聯(lián)。

    六、結(jié)束語(yǔ)

    數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的形式化、抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性，都會(huì)給學(xué)習(xí)者帶來(lái)學(xué)習(xí)上的困難。因此，教學(xué)活動(dòng)需要利用信息技術(shù)的數(shù)學(xué)功能“淡化形式、注重實(shí)質(zhì)”，提供即時(shí)驗(yàn)證、反饋環(huán)境，在增進(jìn)理解、強(qiáng)化應(yīng)用和培養(yǎng)創(chuàng)新能力上下功夫，促進(jìn)學(xué)生知識(shí)水平的垂直增長(zhǎng)。教學(xué)實(shí)踐表明：基于數(shù)學(xué)功能的教學(xué)設(shè)計(jì)，可以讓教師從“用信息技術(shù)就是用課件”的臼窠中跳出來(lái)，真正把信息技術(shù)看成與黑板和粉筆一樣的教與學(xué)的工具，切實(shí)改進(jìn)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)的不足。如部分內(nèi)容可以按歷史或認(rèn)知順序進(jìn)行教學(xué)，而不僅僅依靠邏輯順序；實(shí)現(xiàn)抽象知識(shí)的表征多元化與聯(lián)結(jié)；更好地處理合情推理與演繹推理、一般化與特殊化、具體與抽象的矛盾關(guān)系；把學(xué)生自主探究、解決實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng)落到實(shí)處等等。

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