這篇文章主要研究了一個在獲得終端觀測值的情況下,反演一個二階拋物型方程未知參數(shù)的反問題。在反問題的求解中,最大的難點是處理其不適定性。關(guān)于求解不適定問題的方法,目前主要的解決方式為Tikhonov正則化方法;最早于20世紀(jì)60年代,由蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家A.N.Tikhonov提出,從而開辟了反問題和不適定問題研究的新時代。但是Tikhonov正則化方法要求所求的正則化解具有一定的光滑性,并用它來近似原問題的解。而在實際的物理模型中原問題的解往往不夠光滑(如在圖像恢復(fù)過程中保留圖像的邊界),如何根據(jù)這一條件得到解的存在性、唯一性及其穩(wěn)定性是這篇文章研究的重點之所在。本文從最優(yōu)控制理論的角度出發(fā),采用了全變差正則化方法進行了處理,并結(jié)合對正問題的分析,推出了關(guān)于未知系數(shù)所滿足的必要條件,進而證明了最優(yōu)解的唯一性及其穩(wěn)定性,并成功的反演了未知系數(shù)在可能存在奇性的條件下的數(shù)值解。本文主要包括以下四個部分:第一章是緒論部分,首先簡要介紹了反問題的發(fā)展歷程、研究背景及其國內(nèi)外研究現(xiàn)狀,其次介紹了本文所做的主要工作。第二章主要從理論的角度研究了一個拋物型方程的參數(shù)反演問題。文章利用全變差正則化方法對問題P進行了研究,并在最優(yōu)化理論框架下將原問題轉(zhuǎn)化為一個最優(yōu)控制問題Q,進而證明了極小元的存在性和極小元所滿足的必要條件。最后在必要條件的基礎(chǔ)上證明了極小元的唯一性和穩(wěn)定性。第三章為數(shù)值模擬部分,本章以第二章的理論分析為基礎(chǔ),設(shè)計了全變差迭代算法,并在MATLAB中進行了模擬,從而驗證了理論分析的有效性。這一章共分為兩小節(jié),第一小節(jié)為算法的設(shè)計部分,第二小節(jié)為數(shù)值實驗部分。在數(shù)值實驗中為了突出當(dāng)1)()為非光滑函數(shù)時,全變差正則化方法的反演效果,我們還與傳統(tǒng)的Landweber迭代法作了對比。第四章對全文進行總結(jié)和展望�？偨Y(jié)了本文的主要研究成果,并對下一步的研究工作做了展望。由于本文中所考慮的問題P為一個一維拋物型系統(tǒng)的反問題,而對于高維情形,通常對應(yīng)于更為廣泛的實際應(yīng)用領(lǐng)域,因此對于高維系統(tǒng)的研究是今后我們工作的一個方面。其次本文中設(shè)計的算法對正則化參數(shù)的敏感性要求較高,所以后續(xù)還須對算法做進一步改進,爭取尋找出一種更加有效和簡便的數(shù)值算法。
【學(xué)位授予單位】：蘭州交通大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O241.82

【參考文獻(xiàn)】

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1 李照興;張?zhí)┠?蔡成松;;一個拋物型方程不適定問題的全變差正則化方法[J];蘭州交通大學(xué)學(xué)報;2016年03期

2 ;Reconstruction of the shape of object with near field measurements in a half-plane[J];Science in China(Series A:Mathematics);2008年06期

相關(guān)博士學(xué)位論文 前1條

1 鄧醉茶;二階退化拋物型方程的系數(shù)反問題的理論和數(shù)值算法研究[D];復(fù)旦大學(xué);2012年

本文編號：2294957