發(fā)布時間：2018-10-24 14:17

【摘要】：有限體積(元)法自上世紀(jì)七十年代末被李榮華教授以廣義差分法的名稱提出以來,研究成果層出不窮.該方法涉及到兩套網(wǎng)格剖分和與之對應(yīng)的兩個函數(shù)空間:原始網(wǎng)格剖分上的試探函數(shù)空間,對偶網(wǎng)格剖分上的分片常數(shù)或分片低次多項式空間,即檢驗(yàn)函數(shù)空間.本文取不完全雙二次有限元空間作為試探函數(shù)空間.所謂的不完全雙二次元是指:限制在一個原始單元上的每個型值點(diǎn)處的型函數(shù)是一個不完全雙二次多項式.它的型值定義在四邊形單元的四個頂點(diǎn)和四邊中點(diǎn)上.本文研究了不完全雙二次元,構(gòu)造了新的數(shù)值方法——不完全雙二次有限體積元法.試探函數(shù)空間取等參的不完全雙二次有限元空間,檢驗(yàn)函數(shù)空間取定義在對偶單元上的分片常數(shù)函數(shù)空間.構(gòu)造了四種不同的對偶網(wǎng)格剖分,前兩種是容易想到的非退化的對偶網(wǎng)格剖分,后兩種是退化的對偶網(wǎng)格剖分.針對四種不同的網(wǎng)格分別建立了相應(yīng)的有限體積格式,并給出了穩(wěn)定性分析和收斂性分析.當(dāng)對偶網(wǎng)格非退化時,給出了格式穩(wěn)定的網(wǎng)格比范圍;當(dāng)對偶網(wǎng)格退化時,分析格式的穩(wěn)定性條件,發(fā)現(xiàn)此時雙線性形式限制在一個單元上對應(yīng)的矩陣的最小特征值接近于0甚至小于0,說明這種格式的雙線性形式在一個單元上不正定.進(jìn)而證明了基于非退化格式的不完全雙二次有限體積元法按H~1模度量為2階收斂.最后本文使用所構(gòu)造的格式求解Poisson方程的Dirichlet問題.數(shù)值結(jié)果表明,前兩種格式的數(shù)值解按H~1模度量達(dá)到了最佳的2階收斂;后兩種格式,其數(shù)值解按H~1模度量為1階收斂.這些結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了理論分析的正確性。
[Abstract]:Since the finite volume (element) method was put forward by Professor Li Ronghua in the late 1970s as the name of the generalized difference method, the research results have been produced one after another. This method involves two sets of mesh generation and two corresponding function spaces: the heuristic function space on the original mesh generation, the piecewise constant or the piecewise low degree polynomial space on the dual mesh generation, that is, the test function space. In this paper, the incomplete biquadratic finite element space is taken as the heuristic function space. The so-called incomplete double quadratic element means that the type function at every type value point on a primitive unit is an incomplete biquadratic polynomial. Its type value is defined on the four vertices and midpoints of the quadrilateral element. In this paper, the incomplete double quadratic element is studied, and a new numerical method, the incomplete double quadratic finite volume element method, is constructed. The test function space is the piecewise constant function space defined on the dual element, and the test function space takes the incomplete biquadratic finite element space with isoparametric function space, and the test function space takes the piecewise constant function space defined on the dual element. Four different dual meshes are constructed. The first two are non-degenerate dual meshes which are easy to think of, and the latter two are degenerate dual meshes. The finite volume schemes are established for four different meshes, and the stability analysis and convergence analysis are given. When the dual mesh is nondegenerate, the stable mesh ratio range is given, and the stability condition of the scheme is analyzed when the dual grid is degenerate. It is found that the minimum eigenvalue of the matrix of bilinear form is close to 0 or less than 0, which indicates that the bilinear form of bilinear form is not positive definite on a unit. Furthermore, it is proved that the incomplete biquadratic finite volume element method based on nondegenerate scheme is of second order convergence according to the metric of H1 norm. Finally, we use the constructed scheme to solve the Dirichlet problem of Poisson equation. The numerical results show that the numerical solutions of the first two schemes have the best convergence of order 2 according to the metric of the first two schemes, and the numerical solutions of the latter two schemes have the convergence of the first order according to the metric of the first norm. These results further verify the correctness of the theoretical analysis.
【學(xué)位授予單位】：吉林大學(xué)
【學(xué)位級別】：碩士
【學(xué)位授予年份】：2017
【分類號】：O241.8

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本文編號：2291644