時—空分數(shù)階擴散方程的快速算法以及MT-TSCR-FDE的快速數(shù)值解法
[Abstract]:Today, fractional calculus has become an important tool in social science and engineering. In particular, fractional diffusion equations are increasingly used to study anomalous diffusion phenomena in many fields. Because of the nonlocality of fractional derivative, the numerical solution of the matrix will generate a full coefficient matrix, and the solution of this matrix needs a lot of computation cost and storage. So we study the fast numerical method to solve this problem. The first step: we give the general form of the time-space fractional two-sided diffusion equation: for the time fractional order, we use the Caputo fractional derivative; for the space fractional order, we use the left and right Ricmann-Liouville space fractional derivative. The modified Grunwald-Letnikov approximation is used. The corresponding finite difference scheme and matrix scheme are given. The second step is to analyze the full coefficient matrix of finite difference scheme, which can be decomposed into the sum of the product of Toeplitz matrix and vector. According to the relationship between Toeplitz matrix and cyclic matrix, and the properties of cyclic matrix, a fast solution based on fast Fourier transform (FFT) is developed by using Fourier transform method to solve the product of matrix vector. Step 3: based on the fast solution of FFT, we develop two fast numerical methods: one is the fast iterative method of minimum residual conjugate gradient square of O (N log N) and the other is the fast finite difference method of O (N log2 N). Compared with the conventional finite difference method, the computational cost and storage space can be greatly reduced, while maintaining the same accuracy. The fourth step: for the multiterm fractional space-time Caputo-Resz equation (MT-TSCR-FDE), P (Dt) u (XT) p (x) Rx 尾 q (x) Rx 緯 -h (x) u (XT) F (XT, we first use the predictor-correction method to approximate the multivariate fractional order equation, and then apply the methods and steps mentioned above to analyze and study the fast method of numerical solution. To greatly reduce computational costs and storage space. Step 5: numerical experiment. For time-space Caputo-Riesz fractional order diffusion equation, a time-space fractional diffusion equation with analytic solution, and the final MT-TSCR-FDE numerical simulation, the corresponding error analysis and CPU time analysis are given. The validity of several fast methods proposed in this paper is proved by good numerical results.
【學位授予單位】:山東大學
【學位級別】:碩士
【學位授予年份】:2015
【分類號】:O241.82
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,本文編號:2147243
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