【摘要】：本文主要研究幾類丟番圖方程.文章主要由三部分構(gòu)成.1.第一部分,我們研究了廣義費(fèi)馬方程,得到了下面幾個結(jié)論:(1.1)設(shè)素數(shù)p滿足br+1 = 2pt,其中r,t,6為正整數(shù),且6 = 3,5 (mod 8),則丟番圖方程x2+bm=pn只有一組正整數(shù)解(x,m,n) = (pt-1,r,2t).進(jìn)而,如果6 = q是奇素數(shù),并且r = t = 2,則上述方程滿足下述條件之一時只有一組正整數(shù)解,這里條件(i) q三3,5,7 (mod 8);條件(ⅱ)q ≡1 (mod 8)且d = 1或者d是偶數(shù),其中d為素理想p在虛二次域Q((?))的理想類群中的階,p|p.(1.2)令p≠q為兩個素數(shù),則除去q = 2的情況外,方程p2m-qn=z2至多有一組非平凡解(m,n,z).進(jìn)而,丟番圖方程x2m- yn=z2僅有有限組正整數(shù)解(x,y,z,m,n),其中xy是連續(xù)的兩個素數(shù).2.在第二部分,我們研究了乘法元上的加法性質(zhì),并得到了以下結(jié)果:(2.1)設(shè)K為一個代數(shù)數(shù)域,OK為其整數(shù)環(huán).n是OK中的一個非零理想.任取剩余類環(huán)OK/n中元素a,定義(OK/n)* · a為a的一個軌道.首先,我們給出了任意兩個軌道之和的軌道分解.其次,對兩個軌道之和中的任意元素,我們得到了它在這兩個軌道中不同分解個數(shù)的表達(dá)式.(2.2)我們給出了剩余類環(huán)上例外單位之和的表達(dá)式,并得到一個恒等式.3.在第三部分,我們考慮一類橢圓曲線E :y2 = x(x + 2tp)(x + 2tq),其中t為非負(fù)整數(shù),p q為兩個奇素數(shù)且滿足q - p = 2s.我們給出了該橢圓曲線的秩與Shafarevich-Tate群(沙群)之間的關(guān)系.進(jìn)而在BSD猜想成立的條件下,得到了一類橢圓曲線的秩.
[Abstract]:In this paper, we study several kinds of Diophantine equations. The article is mainly composed of three parts. In the first part, we study the generalized Fermat equation and obtain the following conclusions: (1) Let the prime number p satisfy br 1 = 2pt, where rn 6 is a positive integer, and 6 = 3N 5 (mod 8), then the Diophantine equation x 2 bm=pn has only one set of positive integer solutions (XM n) = (pt 1 n) 2t. Furthermore, if 6 = Q is an odd prime number and r = t = 2, then the above equation satisfies only one set of positive integer solutions for one of the following conditions, where (i) q 3 3 + 5N 7 (mod 8); condition (II) Q 鈮，

本文編號：2146380