發(fā)布時間：2018-10-20 08:29

【摘要】：本文的主要內(nèi)容涉及到拓撲動力系統(tǒng)領(lǐng)域中兩大重要分支——旋轉(zhuǎn)理論與拓撲共軛.文章應(yīng)用了李群理論中極大環(huán)面的相關(guān)知識.結(jié)合已有的對n維環(huán)面Tn上旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)向量的定義方式.定義了一些緊致連通李群上極大環(huán)面中的元素所誘導的平移作用的旋轉(zhuǎn)向量.并且利用旋轉(zhuǎn)向量給出了這些平移作用的拓撲共軛的完全分類,進而給出了這些李群上所有平移作用的拓撲共軛的完全分類.文章重點著眼于拓撲維數(shù)為3或4的非交換的緊致連通李群,即李群SU(2), U(2), S0(3), SO(3) x S1, SpinC(3),以及這些李群上的左作用(右作用的相關(guān)結(jié)論與左作用完全一致).我們分別定義這五類非交換的緊致連通李群上由極大環(huán)面中的元素所誘導的左作用的旋轉(zhuǎn)向量,并且利用旋轉(zhuǎn)向量給出了這些左作用的拓撲共軛分類.進而給出了這些李群上所有左作用的拓撲共軛的完全分類.首先,設(shè)G是一個緊致連通李群.若取定G的一個極大環(huán)面%,則對任意的g∈G,都存某個t∈TG,使得9與t共軛,進而左作用Lg與Lt拓撲共軛.接下來給出本文的主要結(jié)論：(1)對于李群SU(2)：取定SU(2)的一個極大環(huán)面可知并且取同構(gòu)φ：Tsu(2)→S1,定義為那么,對任意Lg∈MTsu(2),左作用Lg作用在極大環(huán)面Tsu(2)上等價于S1上的一個旋轉(zhuǎn)這樣,對任意Lg∈MTsu(2),定義那么,對于左作用Lg,Lg'∈MTsu(2),Lg與Lg'拓撲共軛當且僅當根據(jù)上述等價關(guān)系,我們就可以給出SU(2)上所有左作用的拓撲共軛分類.進一步,我們也證明了SU(2)上左作用的拓撲共軛分類等價于代數(shù)共軛分類,同時也等價于光滑共軛分類.(2)對于李群U(2),取定U(2)的一個極大環(huán)面易知并且取同構(gòu)φ：Tu(2)→S1,定義為那么,對任意Lg∈MTu(2),左作用Lg作用在極大環(huán)面Tu(2)上等價于T2的一個旋轉(zhuǎn)這樣,對任意的Lg∈MTU(2),定義那么,對于左作用Lg,Lg'∈MTU(2),設(shè)則Lg與Lg,拓撲共軛當且僅當根據(jù)上述等價關(guān)系,我們就可以給出U(2)上所有左作用的拓撲共軛分類.進一步,我們也證明了U(2)上左作用的拓撲共軛分類不等價于代數(shù)共軛分類,但其等價于光滑共軛分類.(3)對于李群SO(3),因為SU(2)是SO(3)的覆蓋空間,則根據(jù)(1)中選取的極大環(huán)面Tsu(2),取定SO(3)的一個極大環(huán)面Tso(3),使得Tso(3)恰好是Tsu(2)在覆蓋映射下的像.那么,根據(jù)覆蓋映射丌：SU(2)→SO(3)的性質(zhì),可知TsO(3)中的元素可以表示為其中θ∈[0,1).因此,并且取同構(gòu)φ：Tso(3)→S1,定義為那么,對任意Lg∈MTdo(3),左作用Lg作用在極大環(huán)面Tso(3)上等價于S1上的一個旋轉(zhuǎn)這樣,對任意的Lg∈MTSO(3),定義那么,對于左作用Lg,Lg'∈MTSO(3),Lg與Lg'拓撲共軛當且僅當根據(jù)上述等價關(guān)系,我們就可以給出SO(3)上所有左作用的拓撲共軛分類.進一步,我們也證明了SO(3)上左作用的拓撲共軛分類等價于代數(shù)共軛分類,同時也等價于光滑共軛分類.(4)對于李群SO(3)×S1,因為U(2)是SO(3)×S1的覆蓋空間,則根據(jù)(2)中所選取的極大環(huán)面TU(2),取定SO(3)×S1的一個極大環(huán)面TSO(3)×S1,使得TSO(3)×S1恰好是TU(2)在覆蓋映射下的像.又因為TSO(3)×S1(?)TSO(3)×S1,并且根據(jù)覆蓋映射π：U(2)→SO(3)×S1的性質(zhì),可知TSO(3)×S1中的元素可以表示為(u,λ),其中因此,并且取同構(gòu)φ：TSO(3)×S1→T2,定義為那么,對任意Lg∈MTSO(3)×S1,左作用Lg作用在極大環(huán)面TSO(3)×S1上等價于T2上的一個旋轉(zhuǎn)這樣,對任意Lg∈MTSO(3)×S1,定義那么,對于左作用L。,Lg'∈MTso(3)xs1,設(shè)則Lg與Lg'拓撲共軛當且僅當根據(jù)上述等價關(guān)系.我們就可以給出SO(3)×S1上所有左作用的拓撲共軛分類.進一步,我們也證明了SO(3)×S1上左作用的拓撲共軛分類等價于光滑共軛分類.(5)對于李群Spinc(3),因為U(2)是Spinc(3)的覆蓋空間,財根據(jù)(2)中選取的極大環(huán)面Tu(2),取定Spinc(3)的一個極大環(huán)面TSpinC(3),使得TSpinc(3)恰好是Tu(2)在覆蓋映射下的像.設(shè)φ：Tu(2)→T2是(2)中定義的同構(gòu),π：U(2)→Spinc(3)是覆蓋映射,π'是T2到其自身的2重覆蓋映射,定義為顯然地,π和π'均是群同態(tài),并且那么,存在一個由φ,π和π'所誘導的同構(gòu)φ'：TSpinc(3)→T2,使得因此,我們選取(TSpinc(3),φ')作為極大環(huán)面TSpinc(3)的一個表示,故那么,對任意Lg∈MTspinc(3),左作用Lg作用在極大環(huán)面TSpinc(3)上等價于T2上的一個旋轉(zhuǎn)這樣,對任意的Lg∈MTspinc(3),訂義那么,對于左作用Lg,Lg'∈MTspinc(3),設(shè)則Lg與Lg',拓撲共軛當且僅當根據(jù)上述等價關(guān)系,我們就可以給出Spinc(3)上所有左作用的拓撲共軛分類.進一步,我們也證明了Spinc(3)上左作用的拓撲共軛分類等價于光滑共軛分類.已知交換的緊致連通李群均同構(gòu)于Tm,所以這些李群上的每個左作用均等價于Tn上的旋轉(zhuǎn),而Tn上旋轉(zhuǎn)的拓撲共軛的完全分類已經(jīng)通過旋轉(zhuǎn)向量給出.這樣,結(jié)合本文的結(jié)論,拓撲維數(shù)小于或者等于4的緊致連通李群上平移作用的拓撲共軛分類問題已經(jīng)全部解
[Abstract]:......
【學位授予單位】：吉林大學
【學位級別】：碩士
【學位授予年份】：2015
【分類號】：O152.5;O189

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本文編號：2282605