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微分方程在經濟學、管理學中的運用

發(fā)布時間:2014-07-27 10:13

  一、收入與債務的問題
  目前,歐債美債危機使大家對經濟的發(fā)展前景十分擔憂。一個國家債務過多,其所需支付的利息超過了該國的國民收入時,該國會出現(xiàn)破產。那么持續(xù)財政赤字的國家會出現(xiàn)破產這個現(xiàn)象嗎?國民收入與國家債務問題能否轉化為微分方程去進行分析呢?當然可以。利用微分方程可以很好地體現(xiàn)一個國家的國民收入與其債務問題。
  令D(t)表示國債在時刻t的美元價值,Y(t)表示時刻t國民收入。假定所有變量都以實際美元標價,從而去掉通貨膨脹因素。同時假定赤字(定義為一個等于支出減去收入的正值)為任何時點國民收入的常數(shù)比例。由于債務變化恰好是赤字,則有
  D=by,b>0(一般,許多國家的b值 介于0.02和0.08之間,這意味著赤字大約相當于國民收入的2%~8%)
  同時進一步假定,國民收入隨時間的增長滿足如下微分方程:
  Y=gY g為正常數(shù)(表示國民收入的增長率)。
  上述兩個方程一起構成了國債積累模型。為了分析該模型所蘊含的利息支付與國民收入長期比值之間的關系,我們需要求解這兩個方程。該方程可以重新改寫成積分可得
  Y(t)=C1egt
  我們假定利息率為常數(shù)r,計算利息支付(rD(t))和國民收入(Y(t))的比值:
  定義z(t)=rD(t)/Y(t)為償付國債利息所吸收的國民收入份額,化簡可得z(t)=re-gt+r(1-e-gt)
  z(t)即利息支付與國民收入的比值,隨著t→∞收斂到一個有限值。為了驗明這一點,對式子右邊的兩項取t→∞時的極限。注意e-gt隨著t→∞而趨于零。則有:國債的利息支付收斂到國民收入的一個固定比例rb/g。如果rb/g<1,那么即便政府一直實行不斷增長的國民收入的固定比例的預算赤字,最終的債務負擔也會收斂到國民收入的一個固定份額。這會是一個好消息,因為這意味著經濟總是能夠滿足債務的償付,破產永遠都不會發(fā)生。另一方面,如果rb/g>1,那么這一過程就會收斂到一個利息支付超過國民收入的有限值,筆耕文化推薦期刊,此時,如果預算赤字持續(xù)下去,那么經濟將注定會破產。
  二、邏輯斯諦方程
  利用邏輯斯諦方程的思想可以很好地分析一些經濟問題,例如新產品在市場中的發(fā)展。根據邏輯斯諦方程可以建立一個新產品的推廣模型。例如:某種新產品問世,t時刻的銷量為f(t),由于產品屬于新型產品,沒有可替代的產品,因此t時刻產品銷售量的增長率與f(x)成正比。同時,產品的銷售量存在著一定的市場容量N,統(tǒng)計表明,與尚未購買的此新產品的潛在客戶數(shù)量N-f(x)也呈正比,于是有=kx(N-x)符合邏輯斯諦方程的模型, 于是有通解:
  =kx(N-x)
  其中k為比例系數(shù),分離變量積分, 可以解得x(t)=
  由=,=
  當x(t*)0,即銷量x(t)單調增加。 當x(t*)=時,=0;當x(t*)>時, <0;當x(t*)<時,>0,即當銷售量大于需求量的一半時,產品最暢銷。當銷售不足一半時,銷售速度將不斷的增大。同理,銷售量達到一半時,銷售速度則不斷減少。
  許多產品的銷售曲線都和邏輯斯諦方程曲線十分的相近。所以,分析家認為,當產品推出的初期應小批量生產;當產品用戶在20%-80%之間時,產品應該大批量的生產;但當產品的用戶超過80%時,企業(yè)應該研發(fā)新的產品。

 



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