發(fā)布時(shí)間：2020-09-14 14:22

　　 2010年3月31日,醞釀四年之久的融資融券交易在深滬交易所首次啟動(dòng),真正意義上的“買空賣空”機(jī)制開(kāi)始在中國(guó)股票市場(chǎng)上演。時(shí)隔半月,具有風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖和盈利雙重功效的股指期貨也在中國(guó)金融期貨交易所正式推出。這一系列金融衍生產(chǎn)品的發(fā)放,對(duì)于豐富和深化中國(guó)資本市場(chǎng),增強(qiáng)其流動(dòng)性起到積極的促進(jìn)作用。而與此相關(guān)的學(xué)術(shù)研究課題也正在受到越來(lái)越多的關(guān)注。放眼世界,自1973年全球首家期權(quán)交易所在美國(guó)芝加哥開(kāi)業(yè),大批的新型金融產(chǎn)品就不斷推出以滿足衍生品市場(chǎng)的需求。同年,Black和Scholes(1973)([10])提出著名的期權(quán)定價(jià)公式,Merton(1973)([77])也給出了證券價(jià)格的一般均衡模型。從那時(shí)起,隨機(jī)微分方程模型就作為現(xiàn)代金融理論的基礎(chǔ)工具,被廣泛應(yīng)用于投資管理,資產(chǎn)定價(jià),風(fēng)險(xiǎn)監(jiān)控等多個(gè)領(lǐng)域。 作為期權(quán)定價(jià)模型的理想之選,正倒向隨機(jī)微分方程由Pardoux和Peng(1990)([87])首先提出,其系統(tǒng)理論隨后在Ma和Yong(1999)([75])的著作中得到詳細(xì)闡述。正倒向隨機(jī)微分方程的一般形式如下本論文的研究對(duì)象為一類具有馬爾科夫性的正倒向隨機(jī)微分方程模型,即{Ys}t≤s≤T和{Zs}t≤s≤T是{Xs}t≤s≤T的確定性函數(shù)。在期權(quán)定價(jià)的例子中,證券價(jià)格{Xs}t≤s≤T和復(fù)制性投資組合的價(jià)值{Ys}t≤s≤T都是可觀測(cè)的,而對(duì)沖投資組合價(jià)值{Zs}t≤s≤T盡管無(wú)法觀測(cè),卻往往是人們的興趣所在。其他的研究關(guān)注點(diǎn)還包括函數(shù)系數(shù)b,σ和g.事實(shí)上也可以將Z一并視為函數(shù)系數(shù)。對(duì)于一個(gè)特定問(wèn)題,其對(duì)應(yīng)的正倒向隨機(jī)微分方程模型的具體表達(dá)式既不會(huì)由金融市場(chǎng)自動(dòng)給出,也無(wú)法由數(shù)理金融理論直接提供,因此我們采用模型(1)的非參數(shù)形式,在保持靈活性的同時(shí)保證了穩(wěn)健性。 在本論文中,我們考慮對(duì)非參數(shù)的正倒向隨機(jī)微分方程模型進(jìn)行推斷。我們利用局部線性平滑方法估計(jì)模型中的函數(shù)系數(shù),并根據(jù)實(shí)際情況對(duì)結(jié)果進(jìn)行調(diào)整。除了對(duì)估計(jì)的漸近分布做出理論推導(dǎo),我們還通過(guò)數(shù)據(jù)模擬來(lái)考察估計(jì)在有限樣本中的表現(xiàn)。另外,我們利用兩種不同的工具：漸近分布和經(jīng)驗(yàn)似然,分別為模型的函數(shù)系數(shù)構(gòu)造了置信區(qū)間。在基于漸近正態(tài)性質(zhì)建立置信區(qū)間時(shí),由于漸近方差中包含多個(gè)未知的統(tǒng)計(jì)量,我們預(yù)先給出了漸近方差的相合估計(jì)。對(duì)于經(jīng)驗(yàn)似然方法下的置信域構(gòu)建,我們證明了所定義的對(duì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)似然比統(tǒng)計(jì)量漸近服從χ2分布。 此外,本論文構(gòu)造了一類新型的時(shí)間序列模型,我們稱之為倒向廣義自回歸條件異方差模型。對(duì)于所研究的動(dòng)態(tài)機(jī)制,這一類模型能夠突出強(qiáng)調(diào)終端條件對(duì)它的影響,而這正是被往常的隨機(jī)微分方程推斷所忽略的。借助于Fan et al(2007)([35])提出的動(dòng)態(tài)加權(quán),我們將新模型下的估計(jì)與正倒向隨機(jī)微分方程模型的估計(jì)合并,從而使得最終結(jié)果既依賴于終端條件,又具備穩(wěn)健性,與原來(lái)的兩種估計(jì)相比也更為漸近有效。所以,這不只是對(duì)先前結(jié)論的簡(jiǎn)單拓展和改進(jìn),更為相關(guān)領(lǐng)域的研究帶來(lái)建設(shè)性的建議,并且獲得了創(chuàng)新性的進(jìn)展。 本學(xué)位論文共分為五個(gè)章節(jié),其主要結(jié)論的組織如下： 第一章首先闡述了論文選擇模型和推斷方法的理論依據(jù),然后介紹了正倒向隨機(jī)微分方程模型,包括正倒向隨機(jī)微分方程理論的發(fā)展和應(yīng)用等背景知識(shí),并且通過(guò)一個(gè)具體的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題闡釋了模型的結(jié)構(gòu)。隨后,我們講述了構(gòu)建倒向廣義自回歸條件異方差模型的動(dòng)機(jī)和理論基礎(chǔ),揭示了時(shí)間序列模型和隨機(jī)微分方程模型的內(nèi)在聯(lián)系,從而為合并兩種模型下的結(jié)論做好準(zhǔn)備。 第二章主要對(duì)正倒向隨機(jī)微分方程模型的函數(shù)系數(shù)進(jìn)行非參數(shù)估計(jì)。假設(shè){(Ks0+i△,Ys0+i△),i=1,...,n)是初始時(shí)刻為s0的過(guò)程在等時(shí)間間隔上的觀測(cè),將其簡(jiǎn)記為{(Ki△,Yi△),i=1,...,n},并對(duì)數(shù)據(jù)做如下定義 由此,我們給出模型的函數(shù)系數(shù)在狀態(tài)點(diǎn)(s,χo)的局部線性估計(jì) 為了描述以上估計(jì)的大樣本性質(zhì),下面的定理給出漸近偏(方)差的具體表達(dá)： 定理2.3.1記{Ki△,i=1,...,n}為混合相關(guān)的平穩(wěn)的馬爾科夫過(guò)程的n個(gè)觀測(cè)值,相關(guān)系數(shù)滿足ρl=|Hl|2,其中Hl是｛Xi△｝的轉(zhuǎn)移概率算子。假設(shè){Xi△,i=1...,n}的概率密度函數(shù)p(·)和條件概率密度函數(shù)ρl(y|x)在支撐上連續(xù)有界。令n→∞,當(dāng)h→0,△→0時(shí),仍有nh△→∞。則在任意時(shí)刻s∈(s0,T),i=1,…,n,有以下結(jié)論成立 (a)bh(s,x0)的漸近偏差為進(jìn)一步假設(shè)p’(χ)和(?)3(σ4(s,x))/(?)x3在χ0的鄰域內(nèi)連續(xù),則當(dāng)nh3→∞,bh(s,x0)的漸近方差為 (b)σh2(s,x0)的漸近偏差為進(jìn)一步假設(shè)p’(χ)和(?)3(σ8(s,x))/(?)x3在χ0的鄰域內(nèi)連續(xù),則當(dāng)nh3→∞,σh2(s,x0)的漸近方差為 (c) gh(s,x0)的漸近偏差為進(jìn)一步假設(shè)p’(χ)和(?)3(Z4(s,x))/dx3在χ0的鄰域內(nèi)連續(xù),則當(dāng)nh3→∞,gh(s,x0)的漸近方差為 (d)Zh2(s,x0)的漸近偏差為進(jìn)一步假設(shè)p’(χ)和(?)3(σ8(s,x))/(?)x3在χo的鄰域內(nèi)連續(xù),則當(dāng)nh3→∞,Z2h(s,x0)的漸近方差為其中μj =∫uj K(u)du, vj =∫ujK2(u)du,λj—∫ujK4(u)du ,核函數(shù)K(·)是具有有界支撐的對(duì)稱的概率密度函數(shù)。對(duì)任意正整數(shù)l,Pl(y*|x)是給定Xi△時(shí)'Y*(i+l)△的條件概率密度函數(shù)。 通過(guò)下一個(gè)定理我們進(jìn)而確定了非參數(shù)估計(jì)的漸近正態(tài)性： 定理2.3.2除了定理2.3.1的條件,進(jìn)一步假設(shè){Yi△*,i = l,...,n}和{Yi△*,i = l,...,n}為平穩(wěn)序列,而且存在一列正整數(shù)s。滿足sn→∞及sn=o{(nh△)1/2}以使得當(dāng)n→∞時(shí),有(n/h△)1/2|Hsn|2→∞,此時(shí)以下漸近正態(tài)分布成立 第三章首先解決在估計(jì)波動(dòng)系數(shù)的平方時(shí)可能產(chǎn)生的負(fù)值問(wèn)題。我們采用重新分配權(quán)重的N-W估計(jì)來(lái)代替原來(lái)的局部線性平滑,所得估計(jì)結(jié)果的表達(dá)式為這個(gè)估計(jì)的實(shí)現(xiàn)雖然需要數(shù)值計(jì)算方法的輔助,但它既可以保證非負(fù)結(jié)果,又保持了局部線性估計(jì)的優(yōu)點(diǎn),如適應(yīng)性和邊界自調(diào)等。我們?cè)谙旅娴亩ɡ碇薪o出了它的漸近分布： 定理3.2.1在定理2.3.1和定理2.3.2的假定及§3.1.3的條件C1-C3下,估計(jì)量υ2(χ)漸近服從于正態(tài)分布對(duì)于υ2(χ)的漸近方差,我們也做出了相合估計(jì)： 定理3.2.2除了定理3.2.1的條件,進(jìn)一步假設(shè)對(duì)任意δ0,E[Y8(1+δ)]∞,則當(dāng)n→∞時(shí),其中 接下來(lái)我們考慮基于漸近正態(tài)性質(zhì)構(gòu)造置信域。對(duì)于模型中倒向方程的函數(shù)系數(shù)g及Z2,由于估計(jì)的漸近方差是未知的統(tǒng)計(jì)量,需要先由下面兩個(gè)定理提供相合估計(jì)： 定理3.3.1假設(shè)定理2.3.2的條件成立,但混合相關(guān)系數(shù)需要滿足§3.2中C2,并進(jìn)一步假定E(Y4)∞,則當(dāng)n→∞,有其中 定理3.3.2假設(shè)定理3.3.1的條件滿足,進(jìn)一步假定E(Z4)∞,則當(dāng)n→∞,有其中由此建立起置信水平為1-α的區(qū)間估計(jì)：其中γ1-α／2是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的1-α／2分位數(shù),而Sg(s,x),Sz2(s,x)分別為漸近標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量： 為了避免類似上述方法的復(fù)雜計(jì)算,我們轉(zhuǎn)而考慮利用經(jīng)驗(yàn)似然結(jié)合局部線性平滑來(lái)構(gòu)建置信區(qū)間,從而獲得了函數(shù)系數(shù)9所對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)似然比ι(θg),并且有下面的結(jié)論： 定理3.4.1假設(shè)滿足§3.4中的條件C1-C3,并且nh5→0,則ι(θg)漸近收斂于χ12分布。 由此建立9的置信水平為α的區(qū)間估計(jì)Iα,9(?){θg:l(θg)≤cα)}其中cα為臨界值,即P(x12≤cα)=α. 對(duì)于Z2也有類似結(jié)論： 定理3.4.2假設(shè)定理3.41的條件成立,則Z2的對(duì)數(shù)經(jīng)驗(yàn)似然比ι(θz2)漸近收斂于χ12分布。 據(jù)此建立的置信水平為α的區(qū)間估計(jì)Iα,X2(?){θZ2:l(θZ2)cα),其中cα滿足P(x12≤cα)=α. 第四章主要討論倒向廣義自回歸條件異方差模型。首先,我們通過(guò)分解和迭代將原來(lái)的廣義自回歸條件異方差模型轉(zhuǎn)化為依賴于終端條件的新模型,然后參數(shù)化模型中的不可觀測(cè)量,進(jìn)而利用最小二乘方法對(duì)模型進(jìn)行推斷,所得的估計(jì)θ具有如下漸近分布： 定理4.3.1在§4.3的條件C1-C4下,有其中∑,Ω和σξ2的具體表達(dá)見(jiàn)§4.3中的定義. 最后我們將前面對(duì)g和Z2所做的兩種估計(jì)結(jié)果進(jìn)行下面的合并：其中g(shù)s,F和Zs2,F是來(lái)自于正倒向隨機(jī)微分方程模型的非參數(shù)估計(jì),gs,G和Zs2,G則為倒向廣義自回歸條件異方差模型下的估計(jì),動(dòng)態(tài)權(quán)重0≤ωs(g),ωs(Z2)≤1滿足及以保證合并結(jié)果的方差最小化,從而給出比先前的兩種估計(jì)都更為漸近有效的推斷。 第五章對(duì)本論文進(jìn)行總結(jié),并給出了相關(guān)研究方向上仍待討論的問(wèn)題。
【學(xué)位單位】：山東大學(xué)
【學(xué)位級(jí)別】：博士
【學(xué)位年份】：2010
【中圖分類】：F224;F832.51

【參考文獻(xiàn)】

相關(guān)期刊論文 前4條

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2 陳增敬;一般的非線性數(shù)學(xué)期望──g-期望[J];數(shù)學(xué)進(jìn)展;1999年02期

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本文編號(hào)：2818279