【摘要】 光滑粒子流體動力學(xué)方法作為一種典型的無網(wǎng)格方法,近年來在解決計算流體力學(xué)問題時獲得了廣泛應(yīng)用,與傳統(tǒng)有限差分、有限元及有限體積等方法相比,該方法具有其獨特的優(yōu)勢。本文對光滑粒子流體動力學(xué)方法的理論研究進展和應(yīng)用做了綜合評述,在算法改進和算法應(yīng)用方面做了一定的研究,提出了一些有意義的改進措施,拓寬了算法的應(yīng)用范圍。主要研究工作包括：1、圍繞提高光滑粒子流體動力學(xué)方法的穩(wěn)定性和計算精度,在對基本方法及修正方法理論分析的基礎(chǔ)上,指出了方法在計算穩(wěn)定性、計算精度和算法效率方面所存在的問題,通過對方法數(shù)值精度的理論分析和數(shù)值模擬驗證,給出了提高算法穩(wěn)定性和改善計算精度的策略。2、開展了光滑粒子流體動力學(xué)方法在淺水波方程中的應(yīng)用研究,詳細闡述了求解淺水波方程的SPH粒子分裂算法、基于間斷解的SPH方法。(1)在已有研究文獻的基礎(chǔ)上討論了求解一維和二維淺水波方程的光滑粒子流體動力學(xué)基本方法,并對求解淺水波方程的相關(guān)技術(shù)包括穩(wěn)定項的處理、初始粒子布置及光滑長度的選擇等進行討論和分析,總結(jié)了適宜于求解淺水波方程的光滑粒子流體方法的相關(guān)實現(xiàn)技術(shù)。(2)探討了一種求解淺水波方程的粒子分裂算法。為提高算法的穩(wěn)定性和局部流場的精度,對流場中數(shù)值陡變的區(qū)域或粒子分布較少的區(qū)域?qū)嵤┝Ｗ臃至?通過局部粒子加密的方法來提高粒子分布的均勻性,以滿足核函數(shù)近似和粒子近似對流場中粒子分布的要求,分裂算法拓寬了方法在干濕界面的應(yīng)用。(3)探討了求解淺水波方程的基于間斷解的光滑粒子流體動力學(xué)方法。為了捕捉潰壩模擬中的激波現(xiàn)象,同時又保持算法的穩(wěn)定性,根據(jù)間斷解思想,在光滑粒子流體動力學(xué)方法中把配對粒子之間的作用視為接觸間斷來求解流場的高度和速度,該思想有利于提高方法對激波的捕捉能力。3、基于網(wǎng)格方法中的三角剖分技術(shù),提出了一種可行的光滑粒子流體動力學(xué)二維數(shù)據(jù)預(yù)處理和后處理技術(shù)。數(shù)據(jù)預(yù)處理技術(shù)可以實現(xiàn)具有復(fù)雜邊界流場的初始粒子配置；數(shù)據(jù)后處理技術(shù)通過把SPH輸出的數(shù)據(jù)網(wǎng)格化,實現(xiàn)了利用現(xiàn)有的流體力學(xué)分析軟件進行數(shù)值分析和圖形化顯示的需要。 

第一章緒論

光滑粒子流體動力學(xué)方法誕生至今己有三十多年，方法在理論研究方面取得了迅速發(fā)展，應(yīng)用的領(lǐng)域也日益廣泛，目前已成為計算力學(xué)領(lǐng)域研究的熱點問題之一，受到國內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注。

1.1研究目的和意義

水力學(xué)是力學(xué)的一個重要分支，也是許多工程技術(shù)領(lǐng)域的基礎(chǔ)學(xué)科。由于水流是一個較為復(fù)雜的自然現(xiàn)象，在很多實際工程以及洪水預(yù)報等方面，常常進行必要的簡化。簡化的計算模型可用于數(shù)值計算和數(shù)值分析。

淺水波方程是水流運動的基本方程N-S方程的簡化形式，是各種各樣淺水環(huán)境流體運動的數(shù)學(xué)描述，二維形式的淺水波方程把沿水流垂線方向視為均匆流，一維形式的淺水波方程把沿水流垂線方向和縱向都為均勾流。淺水問題廣泛存在于水利、土木、洪水災(zāi)害、水環(huán)境和航運等工程技術(shù)領(lǐng)域，其中描述洪水災(zāi)害的漬現(xiàn)問題是淺水波方程的一個非常典型的應(yīng)用，歷來受到人們的極大關(guān)注，它不僅是實際工程中需要研究的課題，也是水動力學(xué)中一個重要的模型。通過對淸壩模型的計算，人們可以了解潰現(xiàn)問題的基本特征參數(shù)，，如最大水深、最大流量、涌波推進速度等等，這些參數(shù)也是進行水利工程設(shè)計、災(zāi)害預(yù)報預(yù)測的必要基礎(chǔ)。

目前人們求解淺水波方程的所使用的方法大部分是基于網(wǎng)格的數(shù)值方法。SPH方法作為一種典型的無網(wǎng)格方法，近年來在解決計算流體力學(xué)問題時也獲得了廣泛應(yīng)用，與傳統(tǒng)有限差分、有限元及有限體積等方法相比，該方法具有其獨特的優(yōu)勢。能夠自然地處理極大變形問題，也能夠自然地跟蹤運動界面，在模擬自由表面流動時無須處理自由表面邊界便可得到令人滿意的結(jié)果。目前方法在粒子自適應(yīng)技術(shù)、方法與間斷解相結(jié)合、方法與其他數(shù)值方法的稱合等多個方面有著較為廣闊的發(fā)展前景。本文研究SPH方法在淺水波方程中應(yīng)用中的若干問題，通過對淺水流動中不同形式的淸瑣問題的研究，揭示績壩問題的基本特征參數(shù)，為洪水的預(yù)防預(yù)測提供技術(shù)支持。

1.2SPH方法發(fā)展概況

1.2.1SPH方法的提出

光滑粒子流體動力學(xué)方法是最早發(fā)展的無網(wǎng)格方法之一。它利用核函數(shù)對物理問題進行近似處理，用離散的粒子來描述宏觀連續(xù)分布的流體，每個粒子攜帶了其所在位置的包括質(zhì)量、密度、速度、能量等流體的各種屬性。方法于1977年分別由Lucy和Gingold&Monaghan獨立地提出，最初應(yīng)用于處理三維開放空間中的天體物理問題。相比于傳統(tǒng)的基于網(wǎng)格的數(shù)值方法，SPH方法具有一些特別的優(yōu)點，所以一經(jīng)提出便在多個領(lǐng)域得到了飛速的發(fā)展。

1.2.2SPH方法的主要應(yīng)用領(lǐng)域方法提出的初期主要用于求解天體物理問題，在該領(lǐng)域的應(yīng)用包括星系的形成和瓦解，星體間的碰撞與聚合，宇宙星體的進化等。

近年來，SPH方法在流體力學(xué)和固體力學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在流體力學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用主要包括自由表面流動多相流動、熱傳導(dǎo)非牛頓流體的運動磁流體動力學(xué)、冰晶和晶體，多孔介質(zhì)流、彈性流等，其中關(guān)于自由表面流動的研宄最多，包括氣泡的合成與破碎、液滴的碰撞與融合、流體爬坡、楔形物體入水等多種自然現(xiàn)象。在固體力學(xué)中的應(yīng)用主要包括脆性固體斷裂、金屬成型和鑄造。等，由于方法適宜于處理極大形變問題，因此在高速沖擊與侵徹問題中具有獨特的優(yōu)勢，方法在固體力學(xué)中另一個重要的應(yīng)用是模擬高能炸藥爆炸、水下沖擊爆炸等現(xiàn)象。

近年來，國內(nèi)也在SPH方法的應(yīng)用上開展了一系列的研究工作。研究的領(lǐng)域包括流體的自由表面流動碰撞與沖擊，沖擊爆炸、高速水下物體模擬、方法與有限元方法的耦合研究等。相對而言，國內(nèi)的研究與國外尚具有一定的差距，鑒于方法所具有的獨特優(yōu)勢，開展進一步的研究工作具有積極的意義。

第二章SPH方法的基本理論

本章首先闡述了SPH方法的基本理論，其次介紹了與SPH方法相關(guān)的核函數(shù)、粒子光滑長度、人工粘性、相鄰粒子搜索算法、邊界條件等概念。最后對SPH基本方法與修正方法的有效性進行數(shù)值驗證。

2.1SPH方法的基本原理

SPH方法是一種求解偏微分方程的無網(wǎng)格數(shù)值方法。其基本原理描述如下：描述場的函數(shù)可寫為一個狄拉克函數(shù)和一組任意點的函數(shù)值的乘積積分，將函數(shù)作函數(shù)逼近，用一個光滑函數(shù)光滑核函數(shù)替代它，場函數(shù)就可以寫成一個近似的積分表達式，也就是采用近似函數(shù)來表示任意一點的場函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，將積分函數(shù)在場函數(shù)任意點處的物理量轉(zhuǎn)化為該粒子周圍的所有粒子的物理量疊加求和的離散化形式，這樣整個流場就可以由一系列粒子表示，每個粒子的物理量都由周圍粒子的物理量插值得到。

SPH方法的構(gòu)造常按兩個步驟進行。第一步為積分近似方法，又稱場函數(shù)核近似方法；第二步為粒子近似方法。

2.2相鄰粒子的搜索算法

在傳統(tǒng)的基于網(wǎng)格的有限差分、有限元、有限體積方法中，網(wǎng)格是預(yù)先鋪設(shè)的，計算過程中一般不會發(fā)生改變。而在SPH方法中，每個粒子的鄰近粒子隨時間而變化，計算的每一步都要確定粒子的支持域及支持域中所包含的粒子。粒子之間的相互關(guān)聯(lián)是通過光滑核函數(shù)建立的，由于光滑核函數(shù)具有一個支持域，故在相關(guān)粒子的以為半徑的支持域中只包含有限的粒子，而所包含的這些粒子將會在粒子近似計算過程中被使用，每個粒子只與有限數(shù)量的配對粒子作用，如何迅速而有效地找到相互作用的粒子對成為方法的一個問題。一般將這些包含在支持域中的粒子稱為相關(guān)粒子的最近相鄰粒子，尋找最近相鄰粒子的過程通常稱為最近相鄰粒子搜索。每一個時間步，我們都需要找出每一個粒子支持域范圍內(nèi)的粒子，即該給定粒子的最鄰近粒子及與支持域內(nèi)粒子的距離。在一個SPH程序中，如何提高搜索鄰近粒子的速度成為方法應(yīng)用中必須解決的問題。

這些都是完備的粒子搜索算法，都不會對算法的精度有影響，能夠滿足數(shù)值計算的需要，但若應(yīng)用于流體動畫的實時模擬還需要尋求其它算法，一個發(fā)展的方向就是尋求能夠滿足實時模擬需要的不完備搜索算法，即不需要精確地搜索所有的配對粒子，只要滿足視覺效果即可，即以犧牲算法的精度換取算法的效率。粒子搜索算法在多數(shù)文獻中都有較為詳細的介紹，這里不再贅述。

第三章求解淺水波方程的SPH方法......32

3.1淺水波方程及其拉格朗日形式.........32

3.2淺水波方程的SPH形式.........35

第四章求解淺水波方程的SPH粒子分裂算法........49

4.1粒子分布對計算結(jié)果的影響.........49

4.2SPH粒子分裂算法關(guān)于粒子自適應(yīng)的討論.......50

第五章求解淺水波方程的結(jié)合間斷解問題的SPH方法.........59

5.1引言......59

5.2求解淺水波方程的結(jié)合RIEMANN問題解的SPH方法.........60

第六章SPH方法的數(shù)據(jù)預(yù)處理與后處理

數(shù)據(jù)預(yù)處理與后處理在SPH方法中起著非常重要的作用，數(shù)據(jù)預(yù)處理有助于改善數(shù)值方法的穩(wěn)定性和精度，數(shù)據(jù)后處理可以幫助分析數(shù)值方法存在的問題。本章對這兩項技術(shù)及與其相關(guān)的問題進行論述，給出了一種SPH二維數(shù)據(jù)預(yù)處理和后處理的方法，并通過算例驗證方法的可行性。

6.1數(shù)據(jù)預(yù)處理和后處理的意義

雖然近年來SPH方法發(fā)展很快，但還有許多需要完善和改進的地方，其中SPH數(shù)據(jù)預(yù)處理和后處理技術(shù)就是其中的兩個方面，數(shù)據(jù)預(yù)處理與計算精度密切相關(guān)，數(shù)據(jù)后處理與圖形顯示分析有關(guān)。

有限差分、有限體積等方法是建立在計算網(wǎng)格的基礎(chǔ)上，質(zhì)量較好的剖分網(wǎng)格對算法的計算結(jié)果影響很大。和基于網(wǎng)格的方法類似，粒子的初始分布對SPH方法的計算精度也有較大的影響，如果粒子的分布存在問題，還有可能影響算法的穩(wěn)定性，導(dǎo)致算法出錯。雖然從理論上還不能清楚的解釋粒子分布對計算的精度是如何影響的，但數(shù)值實驗的結(jié)果表明，當粒子分布不均勻時，計算誤差可能會隨著粒子間距的變化而增大，計算結(jié)果的不確定因素變多；初始時刻非均勻分布的粒子要比均勾分布的粒子更早出現(xiàn)數(shù)值振蕩。關(guān)于粒子分布對算法精度的影口向，前面幾章的討論比較多，這里不再贅述。既然粒子初始分布對計算的準確性影響很大，因此對算法進行預(yù)處理，獲得一個初始時刻均勾分布的粒子場，對提高計算結(jié)果的精度和穩(wěn)定性以及加快計算的收斂具有重要意義。

預(yù)處理是為了提高算法的穩(wěn)定性和計算精度，而后處理則是為了滿足數(shù)值方法分析的需要。有限差分、有限體積等方法由于流場的物理量是建立在預(yù)先設(shè)計好的網(wǎng)格的基礎(chǔ)上，網(wǎng)格中的點、線、面之間的關(guān)系是己知的，數(shù)據(jù)圖形化后可以根據(jù)已知的點、線、面之間的關(guān)系分析流場的特征，而SPH是一種無網(wǎng)格類型的粒子方法，計算輸出的數(shù)據(jù)以離散的粒子狀態(tài)存在，如果直接對數(shù)據(jù)進行圖形化顯示，對于一維和二維等一些簡單的流場可以滿足數(shù)據(jù)分析的需要，而對于一些較為復(fù)雜的流場可能難以滿足需要，目前僅發(fā)現(xiàn)少量通過賦予粒子不同的顏色來模擬三維流場的結(jié)果，如圖6.1所示，該圖顯示了三維淸現(xiàn)丹塌并遇方形障礙物時的情形，在不同區(qū)域賦予粒子不同的顏色，效果比較差。現(xiàn)有的比較成熟的基于網(wǎng)格的可視化技術(shù)也無法直接利用。無網(wǎng)格可視化計算是一項新的技術(shù)，目前也幵發(fā)出了一些面向方法的軟件，但基本上是基于直接對粒子進行處理的，主要面向的領(lǐng)域是天文領(lǐng)域，在水動力學(xué)等其它領(lǐng)域的適用性還有待拓展。我們所模擬的淺水波方程的計算結(jié)果無法在上述軟件中處理，需要尋求新的解決辦法。

第七章總結(jié)與展望

本章簡要總結(jié)SPH方法在淺水流動應(yīng)用研究中所做的主要工作，并對未來進一步開展的研究進行展望。

7.1研究總結(jié)

本文在綜述SPH方法的理論研宄和應(yīng)用的基礎(chǔ)上，指出了該方法存在的問題，并對相關(guān)的問題給出了改進或修正的策略；重點介紹了SPH方法在淺水波方程中的應(yīng)用，為提高算法的穩(wěn)定性和改善算法精度，提出了一些解決方案；也對SPH數(shù)據(jù)預(yù)處理和后處理技術(shù)進行了討論。

SPH方法的理論分析和數(shù)值驗證。本文從方法的核近似和粒子近似進行理論分析，SPH方法理論上可以達到二階精度，但數(shù)值實驗表明，具體實現(xiàn)上難以達到二階精度，目前方法的精度還難以與基于網(wǎng)格的方法相娘美，改善方法的穩(wěn)定性和精度是目前面臨的兩個主要問題。另一方面，數(shù)值實驗表明了方法應(yīng)用的領(lǐng)域廣泛，對復(fù)雜邊界的適應(yīng)性較好，可以自然地跟蹤和捕捉流體自由表面、多介質(zhì)交界面，也非常適宜于求解極大變形的物理問題，能夠同時表現(xiàn)流體的整體和細節(jié)特征。

SPH方法的數(shù)據(jù)預(yù)處理和后處理技術(shù)。本文開展了SPH方法數(shù)據(jù)預(yù)處理和后處理方法的研宄，借用網(wǎng)格方法中的三角剖分技術(shù)，給出了一種可行的二維數(shù)據(jù)預(yù)處理方法，同時結(jié)合SPH方法的支持域等相關(guān)概念給出了一種簡易的數(shù)據(jù)后處理方法。方法的數(shù)據(jù)預(yù)處理技術(shù)有助于算法精度的提高，本文給出的SPH方法簡單易行，解決了復(fù)雜邊界流場的初始粒子布置問題，但方法對算法精度的提高還十分有限。方法的數(shù)據(jù)后處理是一個難點，目前研宄的文獻也不是很多。我們給出的方法僅僅能夠像網(wǎng)格方法那樣進行流場的整體形態(tài)分析，流場可能存在的粒子飛派、卷曲等細節(jié)特征無法表現(xiàn)出來，而相比于網(wǎng)格的方法，這些正是SPH方法所具有的獨特優(yōu)點，也是流場本身具有的特性。因此，發(fā)展一種能夠完整表現(xiàn)方法輸出流場所有特性的圖形化方法，是后處理技的一項重要工作，可以期望在數(shù)值計算之外的動畫模擬方面得到廣泛的應(yīng)用。

參考文獻 （略）