發(fā)布時(shí)間：2015-02-12 18:06

摘　要：

摘　要：利用C語(yǔ)言編制程序檢驗(yàn)有限集合及其上二元運(yùn)算是否適合結(jié)合律,是否存在單位元,每一個(gè)元是否存在逆元,從而快速檢查一個(gè)有限集合對(duì)所給二元運(yùn)算是否成一個(gè)群。

關(guān)鍵詞：

關(guān)鍵詞：有限群　結(jié)合律　左單位元　左逆元　程序

     在半群論、群論的研究中，經(jīng)常需要構(gòu)造反例以支持研究，，這就面臨著檢驗(yàn)對(duì)集合特別是有限集合規(guī)定的代數(shù)運(yùn)算是否滿(mǎn)足構(gòu)成半群或群的條件，其中結(jié)合律的檢驗(yàn)尤為繁瑣，對(duì)含有N個(gè)元的集合，就結(jié)合律需檢驗(yàn)個(gè)式子，每個(gè)式子又需進(jìn)行四次二元運(yùn)算；雖然對(duì)于階數(shù)不高于20的群的個(gè)數(shù)和種類(lèi)已完全得到[1]：

階數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

群數(shù)

1

1

1

2

1

2

1

5

2

2

1

5

1

2

1

14

1

5

1

5

但在實(shí)際構(gòu)建階數(shù)不大于20的群時(shí)，仍需與已知的群建立同構(gòu)映射；因而可借助編制程序利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行快速檢驗(yàn);本文通過(guò)用數(shù)字字符代替字母字符,將文[2]最多可檢驗(yàn)含有65536個(gè)元的有限集合擴(kuò)展為任意有限集合。

1　預(yù)備知識(shí)

定義2.1[3]  群的第二定義

一個(gè)不空集合G對(duì)于一個(gè)叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群，假如

I，G對(duì)于乘法來(lái)說(shuō)是封閉的；

II，結(jié)合律成立：a(bc)=(ab)c

對(duì)于G的任意三個(gè)元a,b,c都對(duì)；

III，G里至少存在一個(gè)左單位元e，能讓

             ea=a

對(duì)于G中的任何元a都成立；

IV，對(duì)于G的每一個(gè)元a，在G里至少存在一個(gè)左逆元,能讓

            =

定義2.2[3]  有限群的另一定義    

　　一個(gè)有乘法的有限不空集合G作成一個(gè)群，假如

Ⅰ、G對(duì)于這個(gè)乘法來(lái)說(shuō)是閉的；

Ⅱ、結(jié)合律成立：

                      

對(duì)于G的任意三個(gè)元、、都成立；

    Ⅲ、消去律成立：

　　　　　　　　　　　　　

                                 

2　程序

    對(duì)于一個(gè)有限集合來(lái)說(shuō)：如果利用有限群的另一定義來(lái)判斷所給的有限集合及其代數(shù)運(yùn)算是否構(gòu)成群：封閉性的檢驗(yàn)很簡(jiǎn)單，只需觀(guān)察所給的運(yùn)算表中沒(méi)有新元素出現(xiàn)即可，如果有新元素出現(xiàn)則不滿(mǎn)足封閉性，反之則滿(mǎn)足封閉性；對(duì)于消去律的驗(yàn)證，只需觀(guān)察集合A中的所有元素都出現(xiàn)在所給的運(yùn)算表中每行每列，因而只需檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立；但對(duì)于一個(gè)給定的階數(shù)很大的群，在判斷消去律的時(shí)候就會(huì)顯得麻煩。這時(shí)依據(jù)群的第二定義檢驗(yàn)有限集合及其上二元運(yùn)算是否構(gòu)成群,可利用計(jì)算機(jī)的方法檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立及左單位元，左逆元的存在性。下面，筆者給出利用C語(yǔ)言編制的檢驗(yàn)程序。

2.1　結(jié)合律及左單位元的檢驗(yàn)程序

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本文編號(hào)：14579