摘　要：

摘　要：利用C語言編制程序檢驗有限集合及其上二元運算是否適合結(jié)合律,是否存在單位元,每一個元是否存在逆元,從而快速檢查一個有限集合對所給二元運算是否成一個群。

關(guān)鍵詞：

關(guān)鍵詞：有限群　結(jié)合律　左單位元　左逆元　程序

     在半群論、群論的研究中，經(jīng)常需要構(gòu)造反例以支持研究，，這就面臨著檢驗對集合特別是有限集合規(guī)定的代數(shù)運算是否滿足構(gòu)成半群或群的條件，其中結(jié)合律的檢驗尤為繁瑣，對含有N個元的集合，就結(jié)合律需檢驗個式子，每個式子又需進行四次二元運算；雖然對于階數(shù)不高于20的群的個數(shù)和種類已完全得到[1]：

階數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

群數(shù)

1

1

1

2

1

2

1

5

2

2

1

5

1

2

1

14

1

5

1

5

但在實際構(gòu)建階數(shù)不大于20的群時，仍需與已知的群建立同構(gòu)映射；因而可借助編制程序利用計算機進行快速檢驗;本文通過用數(shù)字字符代替字母字符,將文[2]最多可檢驗含有65536個元的有限集合擴展為任意有限集合。

1　預(yù)備知識

定義2.1[3]  群的第二定義

一個不空集合G對于一個叫做乘法的代數(shù)運算來說作成一個群，假如

I，G對于乘法來說是封閉的；

II，結(jié)合律成立：a(bc)=(ab)c

對于G的任意三個元a,b,c都對；

III，G里至少存在一個左單位元e，能讓

             ea=a

對于G中的任何元a都成立；

IV，對于G的每一個元a，在G里至少存在一個左逆元,能讓

            =

定義2.2[3]  有限群的另一定義    

　　一個有乘法的有限不空集合G作成一個群，假如

Ⅰ、G對于這個乘法來說是閉的；

Ⅱ、結(jié)合律成立：

                      

對于G的任意三個元、、都成立；

    Ⅲ、消去律成立：

　　　　　　　　　　　　　

                                 

2　程序

    對于一個有限集合來說：如果利用有限群的另一定義來判斷所給的有限集合及其代數(shù)運算是否構(gòu)成群：封閉性的檢驗很簡單，只需觀察所給的運算表中沒有新元素出現(xiàn)即可，如果有新元素出現(xiàn)則不滿足封閉性，反之則滿足封閉性；對于消去律的驗證，只需觀察集合A中的所有元素都出現(xiàn)在所給的運算表中每行每列，因而只需檢驗結(jié)合律是否成立；但對于一個給定的階數(shù)很大的群，在判斷消去律的時候就會顯得麻煩。這時依據(jù)群的第二定義檢驗有限集合及其上二元運算是否構(gòu)成群,可利用計算機的方法檢驗結(jié)合律是否成立及左單位元，左逆元的存在性。下面，筆者給出利用C語言編制的檢驗程序。

2.1　結(jié)合律及左單位元的檢驗程序

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本文編號：14579