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檢驗(yàn)有限集合及其二元運(yùn)算是否構(gòu)成群的程序

發(fā)布時間:2015-02-12 18:06

摘 要:

摘 要:利用C語言編制程序檢驗(yàn)有限集合及其上二元運(yùn)算是否適合結(jié)合律,是否存在單位元,每一個元是否存在逆元,從而快速檢查一個有限集合對所給二元運(yùn)算是否成一個群。

關(guān)鍵詞:

關(guān)鍵詞:有限群 結(jié)合律 左單位元 左逆元 程序

     在半群論、群論的研究中,經(jīng)常需要構(gòu)造反例以支持研究,,這就面臨著檢驗(yàn)對集合特別是有限集合規(guī)定的代數(shù)運(yùn)算是否滿足構(gòu)成半群或群的條件,其中結(jié)合律的檢驗(yàn)尤為繁瑣,對含有N個元的集合,就結(jié)合律需檢驗(yàn)個式子,每個式子又需進(jìn)行四次二元運(yùn)算;雖然對于階數(shù)不高于20的群的個數(shù)和種類已完全得到[1]:

階數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

群數(shù)

1

1

1

2

1

2

1

5

2

2

1

5

1

2

1

14

1

5

1

5

但在實(shí)際構(gòu)建階數(shù)不大于20的群時,仍需與已知的群建立同構(gòu)映射;因而可借助編制程序利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行快速檢驗(yàn);本文通過用數(shù)字字符代替字母字符,將文[2]最多可檢驗(yàn)含有65536個元的有限集合擴(kuò)展為任意有限集合。


1 預(yù)備知識

定義2.1[3]  群的第二定義

一個不空集合G對于一個叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個群,假如

I,G對于乘法來說是封閉的;

II,結(jié)合律成立:a(bc)=(ab)c

對于G的任意三個元a,b,c都對;

III,G里至少存在一個左單位元e,能讓

             ea=a

對于G中的任何元a都成立;

IV,對于G的每一個元a,在G里至少存在一個左逆元,能讓

            =

定義2.2[3]  有限群的另一定義    

  一個有乘法的有限不空集合G作成一個群,假如

Ⅰ、G對于這個乘法來說是閉的;

Ⅱ、結(jié)合律成立:

                      

對于G的任意三個元、、都成立;

    Ⅲ、消去律成立:

             

                                 

2 程序

    對于一個有限集合來說:如果利用有限群的另一定義來判斷所給的有限集合及其代數(shù)運(yùn)算是否構(gòu)成群:封閉性的檢驗(yàn)很簡單,只需觀察所給的運(yùn)算表中沒有新元素出現(xiàn)即可,如果有新元素出現(xiàn)則不滿足封閉性,反之則滿足封閉性;對于消去律的驗(yàn)證,只需觀察集合A中的所有元素都出現(xiàn)在所給的運(yùn)算表中每行每列,因而只需檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立;但對于一個給定的階數(shù)很大的群,在判斷消去律的時候就會顯得麻煩。這時依據(jù)群的第二定義檢驗(yàn)有限集合及其上二元運(yùn)算是否構(gòu)成群,可利用計(jì)算機(jī)的方法檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立及左單位元,左逆元的存在性。下面,筆者給出利用C語言編制的檢驗(yàn)程序。

2.1 結(jié)合律及左單位元的檢驗(yàn)程序

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本文編號:14579


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