檢驗(yàn)有限集合及其二元運(yùn)算是否構(gòu)成群的程序
摘 要:
摘 要:利用C語言編制程序檢驗(yàn)有限集合及其上二元運(yùn)算是否適合結(jié)合律,是否存在單位元,每一個元是否存在逆元,從而快速檢查一個有限集合對所給二元運(yùn)算是否成一個群。
關(guān)鍵詞:
關(guān)鍵詞:有限群 結(jié)合律 左單位元 左逆元 程序
在半群論、群論的研究中,經(jīng)常需要構(gòu)造反例以支持研究,,這就面臨著檢驗(yàn)對集合特別是有限集合規(guī)定的代數(shù)運(yùn)算是否滿足構(gòu)成半群或群的條件,其中結(jié)合律的檢驗(yàn)尤為繁瑣,對含有N個元的集合,就結(jié)合律需檢驗(yàn)個式子,每個式子又需進(jìn)行四次二元運(yùn)算;雖然對于階數(shù)不高于20的群的個數(shù)和種類已完全得到[1]:
階數(shù)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
群數(shù)
1
1
1
2
1
2
1
5
2
2
1
5
1
2
1
14
1
5
1
5
但在實(shí)際構(gòu)建階數(shù)不大于20的群時,仍需與已知的群建立同構(gòu)映射;因而可借助編制程序利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行快速檢驗(yàn);本文通過用數(shù)字字符代替字母字符,將文[2]最多可檢驗(yàn)含有65536個元的有限集合擴(kuò)展為任意有限集合。
1 預(yù)備知識
定義2.1[3] 群的第二定義
一個不空集合G對于一個叫做乘法的代數(shù)運(yùn)算來說作成一個群,假如
I,G對于乘法來說是封閉的;
II,結(jié)合律成立:a(bc)=(ab)c
對于G的任意三個元a,b,c都對;
III,G里至少存在一個左單位元e,能讓
ea=a
對于G中的任何元a都成立;
IV,對于G的每一個元a,在G里至少存在一個左逆元,能讓
=
定義2.2[3] 有限群的另一定義
一個有乘法的有限不空集合G作成一個群,假如
Ⅰ、G對于這個乘法來說是閉的;
Ⅱ、結(jié)合律成立:
對于G的任意三個元、、都成立;
Ⅲ、消去律成立:
2 程序
對于一個有限集合來說:如果利用有限群的另一定義來判斷所給的有限集合及其代數(shù)運(yùn)算是否構(gòu)成群:封閉性的檢驗(yàn)很簡單,只需觀察所給的運(yùn)算表中沒有新元素出現(xiàn)即可,如果有新元素出現(xiàn)則不滿足封閉性,反之則滿足封閉性;對于消去律的驗(yàn)證,只需觀察集合A中的所有元素都出現(xiàn)在所給的運(yùn)算表中每行每列,因而只需檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立;但對于一個給定的階數(shù)很大的群,在判斷消去律的時候就會顯得麻煩。這時依據(jù)群的第二定義檢驗(yàn)有限集合及其上二元運(yùn)算是否構(gòu)成群,可利用計(jì)算機(jī)的方法檢驗(yàn)結(jié)合律是否成立及左單位元,左逆元的存在性。下面,筆者給出利用C語言編制的檢驗(yàn)程序。
2.1 結(jié)合律及左單位元的檢驗(yàn)程序
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本文編號:14579
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