(i)f與g在閉區(qū)間[a,b]上均連續(xù);

(ii)f與g在開區(qū)間(a,b)內(nèi)均可導(dǎo);

(iii)在(a,b)內(nèi)f'與g'不同時為零;

(iv)g(a)≠g(b),

則在(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使得f'(ξ)

g'(ξ)

=

f (b)-f(a)

g(b)-g(a)

.

(4)費馬定理(Fermat):

(i)函數(shù)f(x)在點x0的某鄰域Uδ(x0)內(nèi)有定義,且在此鄰域內(nèi)恒有f(x)燮f(x0)或者f(x)叟f(x0) (ii)f(x)在x0處可導(dǎo),

則有f'(x0)=0

2微分中值定理證明題中輔助函數(shù)的構(gòu)造方法中值定理及推導(dǎo)過程用到了演繹、分析、分類等數(shù)理邏輯方法以及一些具體的數(shù)學(xué)方法,如構(gòu)造輔助函數(shù)的種種方法,這對于培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯推理能力,培養(yǎng)直覺思維、發(fā)散思維等創(chuàng)新思維都大有益處.以下介紹幾種常用的輔助函數(shù)的構(gòu)造方法. 2.1湊導(dǎo)數(shù)法

例1.設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),證明:存在ξ∈(a,b),使得

分析:結(jié)論變形為,即可湊成.

將ξ換成x,結(jié)論變形為,即

從而可設(shè)輔助函數(shù)為,有,本題得證

證明:令,則F (x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且F(a)=F(b),由羅爾定理知,至少存在一點ξ∈(a,b),

使得

注:這種方法主要是把要證明的結(jié)論變形為羅爾定理的結(jié)論形式,湊出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)做為輔助函數(shù),即將要證的結(jié)論中的ξ換成x,變形后觀察法湊成F' (x)=0,由此求出輔助函數(shù)F(x).

2.2幾何直觀法

例2.若f(x)在[0,1]上可導(dǎo),且0<f(x)<1,對于任何x∈(0,1)都有f'(x)≠1,試證在(0,1)內(nèi)有且僅有一點ξ,使得f(ξ)=ξ.

分析:由圖1可看出,此題的幾何意義是,連續(xù)函數(shù)y=f(x)的圖形曲線必跨越y(tǒng)=x這一條直線,而兩者交點的橫坐標(biāo)ξ恰滿足f(ξ)=ξ,進(jìn)而,由圖1還可知道,對[0,1]上的同一自變量值x,這兩條曲線縱坐標(biāo)之差f(x)-x構(gòu)成一個新的函數(shù)g(x),它滿足g(0)=f(0)>0,g(1)=f(1)-1<0,因而符合中值定理的條件.

證明:令g(x)=f(x)-x,則由題設(shè)知,g(x)在[0,1]上連續(xù),且g(0)=f(0)>0,g(1)=f(1)-1<0.由零點定理知,至少存在一點ξ∈(0,1),使得g(ξ)=f(ξ) -ξ=0,即f(ξ)=ξ.用反證法證唯一性,設(shè)有兩個點x1,x2∈(0,1),均有f(x1)=x1,f(x2)=x2在x1與x2所構(gòu)成的區(qū)間上運用拉格朗日中值定理有f'(ξ1)= f(x2)-f(x1)

x2-x1

=1,這與f'(x)≠1矛盾,結(jié)論成立.

注:上述解題方法的局限性在于它只針對一些只設(shè)計一階導(dǎo)數(shù)和幾何意義比較明確的題目.

2.3常數(shù)值法

例3.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),0< a，

本文編號：2324843