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勾股定理與畢達(dá)哥拉斯定理證明思路不同

2013-08-05 09:37 來源: 中國社會科學(xué)在線

　　【核心提示】無論東西方，對勾股定理或是畢達(dá)哥拉斯定理的發(fā)現(xiàn)都不是簡單孤立的數(shù)學(xué)事件，而是各自文明中思想傳統(tǒng)的直接體現(xiàn)。數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)絕不是對特例的發(fā)現(xiàn)，而古希臘與中國以不同的證明思路佐證了各自對于此定理的獨立發(fā)現(xiàn)。

　　西方學(xué)者一直使用畢達(dá)哥拉斯定理的說法，少有勾股定理的用法。即便終身傾力于中國科學(xué)技術(shù)史研究的李約瑟，在《中華科學(xué)文明史》中也采用“畢達(dá)哥拉斯定理”的稱謂，甚至有“《周髀算經(jīng)》中對畢達(dá)哥拉斯定理的證明”的提法。而身處中國的我們，也認(rèn)為勾股定理就是西方的畢達(dá)哥拉斯定理。

　　確定何謂數(shù)學(xué)定理，至少有三種可能的途徑：特例表述、普遍性表述和數(shù)學(xué)證明。就勾股定理或者畢達(dá)哥拉斯定理而言，勾三股四弦五是特例表述；a2+b2=c2是普遍性表述；勾股定理或者畢達(dá)哥拉斯定理的證明則是數(shù)學(xué)證明。

　　“勾廣三，股修四，徑隅五”出自《周髀算經(jīng)》中一段商高與周公的對話，但這一特例表述能否看作是定理發(fā)現(xiàn)呢？如果把特例表述也看作是定理的發(fā)現(xiàn)，則此定理的發(fā)現(xiàn)權(quán)應(yīng)當(dāng)屬于巴比倫文明。1945年，美國數(shù)學(xué)史家伊格鮑爾細(xì)致考察了現(xiàn)存美國哥倫比亞大學(xué)的Plimpton322號泥版，考證出巴比倫人在漢謨拉比時代（約前1700）已經(jīng)發(fā)現(xiàn)畢達(dá)哥拉斯數(shù)組，即符合a2+b2=c2的系列數(shù)字及其關(guān)系。

　　此發(fā)現(xiàn)是否具有幾何學(xué)意義？著名數(shù)學(xué)史家克萊因在巴比倫數(shù)表發(fā)現(xiàn)前就相信，埃及人和巴比倫人只是把幾何作為實用工具，“埃及人的幾何是怎樣的呢？他們并不把算術(shù)和幾何分開，草片文書中都有這兩方面的問題。埃及人也象巴比倫人那樣，把幾何看作實用工具。他們只是把算術(shù)和代數(shù)用來解有關(guān)面積、體積及其他幾何性質(zhì)的問題”。如果巴比倫數(shù)表只是用以算術(shù)計算，則與中國的“勾三股四弦五”的特例表述一樣，雖然是令人驚奇的發(fā)現(xiàn)，但稱不上是幾何定理。

　　西方把這一定理稱為畢達(dá)哥拉斯定理，這是因為歐幾里德在《幾何原本》中提到畢達(dá)哥拉斯證明了這一定理。但克萊因認(rèn)為，很可能到了公元前4世紀(jì)，，在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派晚期才實現(xiàn)了定理證明，而畢達(dá)哥拉斯本人只是依據(jù)特例來肯定所得結(jié)果。

　　由畢達(dá)哥拉斯學(xué)派完成的該定理的演繹證明在西方思想史上具有重要的意義。如克萊因認(rèn)為，“希臘人堅持要演繹證明，這也確是了不起的一步。在世界上的幾百種文明里，有的的確也搞出了一種粗陋的算術(shù)和幾何。但只有希臘人才想到要完全用演繹推理來證明結(jié)論”。

　　證明體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。從數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)過程來看，西方人認(rèn)為特例表述應(yīng)當(dāng)早于普遍性表述，普遍性表述又早于定理證明。如伽利略所言：“你可以相信，畢達(dá)哥拉斯遠(yuǎn)在他以百牛祭慶祝他發(fā)現(xiàn)一條幾何證明之前，早就肯定直角三角形對直角一邊（斜邊）的平方等于另外兩邊的平方之和了。”

　　最值得注意的是，畢達(dá)哥拉斯定理的證明是一個幾何學(xué)證明，它與算術(shù)無關(guān)，這明顯區(qū)別于巴比倫時代對畢達(dá)哥拉斯數(shù)組以算術(shù)形式的發(fā)現(xiàn)。

　　在中國，對勾股定理的特例表述與普遍性表述，都出自《周髀算經(jīng)》。商高所說的“勾廣三，股修四，徑隅五”是特例表述，商高與周公對話的年代約為公元前10世紀(jì)前后，早于古希臘；《周髀算經(jīng)》卷上之二中陳子在與榮方的對答中說“若求斜至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得斜至日”，這是勾股定理的普遍性表述，陳子發(fā)現(xiàn)此表述至遲為公元前6—前7世紀(jì)，大約稍早于古希臘的畢達(dá)哥拉斯。傳統(tǒng)上認(rèn)為定理證明是三國時期的趙爽完成的，而商高和陳子都沒有完成對于定理的證明。因此，中國數(shù)學(xué)史家錢寶琮建議在中國不必用人名來命名這個定理，而直接稱之為勾股定理。

　　但近年來，西北大學(xué)教授曲安京在綜合前輩學(xué)者的意見后指出，商高實際上已經(jīng)給出了對勾股定理的一般性證明。換言之，《周髀算經(jīng)》中周公與商高的對話既包括特例表述，又包括定理證明。

　　如此，勾股定理的證明年代從三國時期的趙爽前推到商高時代，也就是公元前10世紀(jì)前后，早于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派證明的時代。值得進(jìn)一步反思的是，如此《周髀算經(jīng)》中對勾股定理的證明，便早于對于它的普遍性表述，即早于陳子后來做出的表述。商高從特例開始，在證明了“理”之后，又回到了具體的例子。這中間缺乏普遍性表述，其在普遍性表述方面的價值沒有在古希臘數(shù)學(xué)中那么大。

　　饒有意味的是，中國的勾股定理證明不是按照希臘數(shù)學(xué)的方式展開，而是按照數(shù)形統(tǒng)一的方式進(jìn)行證明，其中幾何學(xué)與算學(xué)聯(lián)系在一起。商高的證明如此，趙爽的證明也是如此。吳文俊先生認(rèn)為：“與希臘歐幾里得幾何的形數(shù)割裂者恰恰相反，我國在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中自始至終是把空間形式與數(shù)量關(guān)系融合在一起的，因而數(shù)系統(tǒng)的建立與臻于完備，以及代數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展，也始終與幾何學(xué)的發(fā)展貫穿在一起。到宋元之世天元也即未知數(shù)概念的明確引入，代數(shù)式與其代數(shù)運(yùn)算的闡明，以及幾何代數(shù)化方法的逐漸成熟，更為解析幾何的創(chuàng)立開辟了道路�！�

　　無論東西方，對勾股定理或是畢達(dá)哥拉斯定理的發(fā)現(xiàn)都不是簡單孤立的數(shù)學(xué)事件，而是各自文明中思想傳統(tǒng)的直接體現(xiàn)。數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)絕不是對特例的發(fā)現(xiàn)，而古希臘與中國以不同的證明思路佐證了各自對于此定理的獨立發(fā)現(xiàn)。中國《周髀算經(jīng)》中“寓理于算”、“形數(shù)統(tǒng)一”的證明傳統(tǒng)，區(qū)別于古希臘“算術(shù)與幾何證明分離”的傳統(tǒng)。

　　（作者單位：南開大學(xué)哲學(xué)院）

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