【摘要】：非線性半定規(guī)劃(SDP)的研究非常重要,因?yàn)樵搯栴}在金融工程和控制等領(lǐng)域有著實(shí)際應(yīng)用,例如反饋控制、衍架拓?fù)鋬?yōu)化、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、魯棒優(yōu)化、材料優(yōu)化以及控制論中的線性和雙線性矩陣不等式問題、特征值優(yōu)化問題等等.因此,對非線性半定規(guī)劃問題的研究已經(jīng)成為目前國際上的一個(gè)研究熱點(diǎn).一些學(xué)者對求解非線性半定規(guī)劃問題的算法做了研究工作,并且提出了一些比較有效的算法,如增廣拉格朗日乘數(shù)法、原始-對偶內(nèi)點(diǎn)算法、序列二次半定規(guī)劃方法、同倫方法、可行方向法等等.在提出的這些算法中,序列半定規(guī)劃(SSDP)方法可以看作是非線性規(guī)劃(NLP)中序列二次規(guī)劃(SQP)方法的一個(gè)推廣,因此有研究者將關(guān)于序列二次規(guī)劃方法為基礎(chǔ)的研究工作也應(yīng)用到非線性半定規(guī)劃上去,提出了信賴域結(jié)構(gòu)的濾子算法和無懲罰無濾子算法.這些算法都有全局收斂性質(zhì),然而,由于半定約束的特殊性,對SDP問題局部收斂性的研究并不多.如同非線性規(guī)劃一樣,非線性半定規(guī)劃的算法中也會(huì)產(chǎn)生Maratos效應(yīng).目前關(guān)于如何克服和解決這個(gè)問題的研究很少.本文首先提出了一種針對SSDP方法的二階校正步(SOC)技術(shù),這種技術(shù)在計(jì)算二階校正步時(shí),利用零空間構(gòu)造對應(yīng)的子問題,結(jié)合矩陣分析和強(qiáng)半光滑的理論結(jié)果,證明了構(gòu)造的二階校正步定義是合理的,此外,本文將該思想應(yīng)用于采用l1精確罰函數(shù)的SSDP算法中去,證明了當(dāng)算法產(chǎn)生的序列充分靠近最優(yōu)解,且在非退化條件,嚴(yán)格互補(bǔ)和二階充分條件下,滿步長或者帶二階校正步的滿步長能夠被l1精確罰函數(shù)接受,從而克服了Maratos效應(yīng),且證明了該算法具有超線性收斂性.在非線性規(guī)劃中,使用罰函數(shù)的算法當(dāng)罰因子過大時(shí)可能會(huì)造成計(jì)算溢出,因此,本文的另一個(gè)研究工作是將非線性規(guī)劃的無懲罰型思想推廣到非線性半定規(guī)劃上來,給出了求解非線性半定規(guī)劃的直線搜索濾子算法和無懲罰無濾子算法,并給出了這些算法的全局收斂性分析.更進(jìn)一步,結(jié)合前面提出的二階校正步技術(shù),證明了當(dāng)算法產(chǎn)生的序列充分靠近最優(yōu)解,且在非退化,嚴(yán)格互補(bǔ)和和二階充分條件下,滿步長或者帶二階校正步的滿步長能夠被這些無懲罰方法的接受準(zhǔn)則所接受,從而克服了Maratos效應(yīng).需要指出的是,由于半定約束的存在,全局和局部收斂性的證明并不是簡單的推廣,不少的性質(zhì)需要針對半定規(guī)劃的形式重新給出證明.大多數(shù)無懲罰型算法需要可行性恢復(fù)階段,這一階段主要是為了解決序列半定規(guī)劃子問題不相容或可行性太差的問題,導(dǎo)致無法得出原問題合適的搜索方向.然而,在這一階段需要耗費(fèi)大量的計(jì)算,且目前對于非線性半定規(guī)劃,也沒有十分有效的可行性恢復(fù)算法.為了避免這一過程,本文還研究了一種兩階段的SSDP算法.首先,從一個(gè)線性半定規(guī)劃問題中計(jì)算一個(gè)“舵性步”,除了能夠給出線性化約束違反度在當(dāng)前迭代點(diǎn)的鄰域附近可能產(chǎn)生的最大下降量信息,還能夠“探測”子問題是否可行.然后,調(diào)節(jié)罰因子并計(jì)算一個(gè)搜索方向,該方向是通過求解一個(gè)二次半定規(guī)劃問題或一個(gè)嚴(yán)格的凸優(yōu)化問題來得到.算法要求該方向能夠改善線性化約束違反程度,并且是l1精確罰函數(shù)的一個(gè)下降方向.這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于不需要假設(shè)子問題一定是可行的,此外,在分析全局收斂性的時(shí)候也不需要約束規(guī)格.受非線性規(guī)劃中克服Maratos效應(yīng)的另一思想一非單調(diào)技術(shù)啟發(fā),本文結(jié)合前面的兩階段SSDP算法,給出了一種非單調(diào)的兩階段SSDP算法,并給出了這種算法的全局和局部收斂性分析,說明非單調(diào)技術(shù)也能克服非線性半定規(guī)劃中的Maratos效應(yīng).為了說明算法的有效性,本文針對上面所研究的問題和算法均給出了數(shù)值試驗(yàn)或相關(guān)算例,試驗(yàn)結(jié)果也驗(yàn)證了所提出方法的效果.
【學(xué)位授予單位】：蘇州大學(xué)
【學(xué)位級別】：博士
【學(xué)位授予年份】：2018
【分類號】：O221

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