發(fā)布時(shí)間：2016-08-01 16:08

  本文關(guān)鍵詞：半?yún)?shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立模型的變窗寬估計(jì)理論，由筆耕文化傳播整理發(fā)布。

半?yún)?shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立模型的變窗寬估計(jì)理論

葉阿忠 吳相波 黃志剛

(福州大學(xué)管理學(xué)院，福建 福州 350002)

摘要：聯(lián)立方程模型在經(jīng)濟(jì)政策制定、經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)分析和經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)方面起重要作用。文章將半?yún)?shù)單方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的局部線性估計(jì)方法與傳統(tǒng)聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的工具變量估計(jì)方法相結(jié)合, 在隨機(jī)設(shè)計(jì)(模型中所有變量為隨機(jī)變量)下, 提出了半?yún)?shù)聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型的局部線性工具變量變窗寬估計(jì)方法, 并利用極限理論研究了估計(jì)的大樣本性質(zhì)。結(jié)果表明：參數(shù)分量的估計(jì)具有一致性和漸近正態(tài)性且收斂速度為n

-1/2

；非參數(shù)分量估計(jì)在內(nèi)點(diǎn)處具有一致性和漸近正態(tài)性, 其收斂速度達(dá)到了非參數(shù)函數(shù)估計(jì)的

最優(yōu)收斂速度。

關(guān)鍵詞：半?yún)?shù)模型；局部線性估計(jì)；工具變量估計(jì)；變窗寬估計(jì)；漸近正態(tài)性

Theory of variable bandwidth estimation for

semi-parametric simultaneous equations econometric models

YE Azhong, WU Xiangbo, HUANG Zhigang

(College of Management, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian 350002)

Abstract: Econometric simultaneous equation models play an important role in making economic policies, analyzing economic structure and economic forecasting. This paper presents an estimation method for semi-parametric simultaneous equations econometric model. A local linear estimation with variable bandwidth was used with instrumental variables, when all variables were random. A local linear estimation method for semi-parametric single equation model was combined with the traditional instrumental variable method for simultaneous equations model. The properties under large sample size were studied by using the asymptotic theory. The results show that the estimators of the parameters have consistency and asymptotic normality, and their convergence rates are equal to n. And the estimator of the nonparametric function has the consistency and asymptotic normality in interior points and its rate of convergence is equal to the optimal convergence rate of the nonparametric function estimation.

Key words: semi-parametric models; local linear estimation; instrumental variable estimation; variable bandwidth estimation; asymptotic normality

-1/2

0 引言

計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立模型在經(jīng)濟(jì)政策制定、經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)分析和經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)方面起重要作用線性計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立模型

[1-3]

[1-2]

。傳統(tǒng)的線性或非

容易造成單方程的設(shè)定誤差，致使聯(lián)立方程的累積誤差較大，不能很好地反映

[4-8]

現(xiàn)實(shí)中的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象。目前非參數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立模型的估計(jì)理論已取得較大進(jìn)展，但已有的研究存在的

共同局限性有兩方面，一是假定經(jīng)濟(jì)變量的關(guān)系未知，而現(xiàn)實(shí)中的經(jīng)濟(jì)變量的關(guān)系是部分已知的；二是模型非參數(shù)回歸函數(shù)估計(jì)趨于實(shí)際量的收斂速度慢。變窗寬估計(jì)的窗寬可隨著觀察點(diǎn)的不同而不同，這樣有的附近數(shù)據(jù)多的點(diǎn)的窗寬可取小一些，附近數(shù)據(jù)少的點(diǎn)的窗寬可取大一些，從而改進(jìn)估計(jì)效率

收稿日期：2007-01-

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70371025)；教育部人文社會(huì)科學(xué)研究資助項(xiàng)目(02JA790014)

作者簡(jiǎn)介：葉阿忠(1963-)，男，福建沙縣人，博士，教授，電話：13950313537，Email：ye2004@fzu.edu.cn。 [8-10]

。本文

將作者的非參數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立模型的變窗寬估計(jì)理論進(jìn)行擴(kuò)展，，提出半?yún)?shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立模型的局部線性工具變量變窗寬估計(jì)，并證明了參數(shù)分量估計(jì)的漸近正態(tài)性和一致性，且其收斂速度為n?1/2(與經(jīng)典線性回歸模型參數(shù)的收斂速度一致

[3][11]

[8]

)，還證明了非參數(shù)分量估計(jì)(在內(nèi)點(diǎn)處)的漸近正態(tài)性和一致性，它的

收斂速度達(dá)到了非參數(shù)函數(shù)估計(jì)的最優(yōu)收斂速度。我們的研究表明：由于半?yún)?shù)模型中的部分解釋變量與被解釋變量的關(guān)系已知，所以，其參數(shù)分量和非參數(shù)分量估計(jì)的收斂速度快于非參數(shù)模型回歸函數(shù)估計(jì)的收斂速度，這與經(jīng)典的半?yún)?shù)單方程回歸模型的結(jié)論一致

[12-13]

。從而，本研究建立的半?yún)?shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立

模型的工具變量變窗寬估計(jì)理論有效地克服和彌補(bǔ)了已有的非參數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立模型估計(jì)理論的缺陷，使得聯(lián)立模型的估計(jì)理論更具有實(shí)用價(jià)值。

1局部線性工具變量變窗寬估計(jì)

設(shè)半?yún)?shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)聯(lián)立模型的某結(jié)構(gòu)式方程為

Yi=Xiβ+m(Pi)+ui(i=1,??,n) (1)

其中β是未知參數(shù)，m(?)是未知函數(shù)，(X1,P1,Y1),??,(Xn,Pn,Yn)是在R

d+1

(d=dx+dp)上取值的獨(dú)

立同分布的隨機(jī)變量向量序列，ui是均值為零且相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。假定解釋變量向量

T

Xi=(X1i,??,Xdxi)T和Pi=(Pdpi)中某些變量是內(nèi)生變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)ui相關(guān)，即 1i,??,P

E(Xiui)≠0，E(Piui)≠0 (2)

經(jīng)典的半?yún)?shù)回歸模型假定解釋變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)不相關(guān)

T

[12-13]

，但在聯(lián)立模型中該假定被破壞

[1-3]

，或是

與被解釋變量關(guān)系已知的解釋變量Xi=(X1i,??,Xdxi)中有些變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)，或是與被解釋變量關(guān)系未知的解釋變量Pi=(Pdpi)中有些變量與隨機(jī)誤差項(xiàng)相關(guān)。假定dp≤3，設(shè)非參數(shù)函數(shù)m及1i,??,P其一階、二階導(dǎo)數(shù)有界連續(xù)，則其估計(jì)的最優(yōu)收斂速度為n速度)。設(shè)Z1,??,Zn是R

d+1

T

?2/(dp+4)[14-15]

( dp過(guò)大將會(huì)降低m估計(jì)的收斂

上獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量向量，其中Zi=(Z1i,??,Zd+1i)T。假設(shè)

E(Ziui)=0,E(Ziui|Xi,Pi)=0，稱Zi為工具變量向量。

設(shè)fP(?)是Pi=(Pdpi)的密度函數(shù)，fP(p)>0有凸支撐supp(fP)?R1i,??,P

2

2

T

dp

，fP是有界連續(xù)函數(shù)，

其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)；E(Zji|Pi=p)、E((Zji)|Pi=p)和E(ZjiZki(ui)|Pi=p)有界連續(xù)；設(shè)K(?)是dp維密度函數(shù)，令Khn(p)=hn

?dp

K(hn?1p)，稱K為核函數(shù)，Khn/α(Pi)(?)為核權(quán)函數(shù)，hn為不變窗寬，α(Pi)為

變窗寬。若掌握解釋變量Pi分布的一些信息，對(duì)密度大的點(diǎn)取較小的窗寬，對(duì)密度小的點(diǎn)取較大的窗寬，這樣采用與掌握的信息有關(guān)的變窗寬估計(jì)將會(huì)提高估計(jì)的效率

[8-10]

。假定核函數(shù)K有緊支撐

supp(K)?∏[?1,1]?Rp

d

i=1

dp

且

K(p)≥0,∫K(p)dp=1,∫K(p)pdp=0,∫K(p)ppTdp=μ2(K)I

其中μ2(K)≠0，I為單位陣。

定義1 給定p∈supp(fP)?R

dp

和窗寬h，記

Θp,h,α={z:(p+h(α(p))?1z)∈supp(fP)}∩supp(K)

若存在h0>0，使得當(dāng)h≤h0時(shí)，Θp,h,α=supp(K)，則稱p為supp(fP)的內(nèi)點(diǎn)。否則稱之為邊界點(diǎn)。

約定 i分別是元素全為1的矩陣或列向量或行向量。 條件1 hn=c?n

T

?1/(dp+4)

(c為某常數(shù))，α(?)有界且minα(z)>0。

z

條件2 (Z*Wp,αΦp)存在，其中Z*=(Z*1,??,Z*n)T，Z*i=(Zdx+1i,??,Zd+1i)，

?1T

Wp,α=diag{Khn/α(P1)(P1?p),??,Khn/α(Pn)(Pn?p)},Φp=(Pp1,??,Ppn)TPpi=(1,(Pi?p)T)T。

條件3 E[Z#i(m(Pi)?E[m(Pi)|Z*i])]=0，其中Z#i=(Z1i,??,Zrxi)。

T

?(α)是下列線性方程組的定義2 在條件1-2下，模型(1)中參數(shù)β的局部線性工具變量變窗寬估計(jì)βIV

解：

∑[Y?m(P,α)?(X

i

1

i

i=1

n

i

?m2(Pi,α))β]Zji=0,j=1,??,dx (3)

T

T

?1

其中m1(p,α)=e1(Z*Wp,αΦp)Z*Wp,αY，m2(p,α)=e1(Z*Wp,αΦp)Z*Wp,αX，

TT?1TT

e1=(1,0,??,0)T。

定義3 在條件1-2下，模型(1)中非參數(shù)函數(shù)m(?)的局部線性工具變量變窗寬估計(jì)為

?(α) (4) ?IV(p,α)=m1(p,α)?m2(p,α)βmIV

2 局部線性工具變量變窗寬估計(jì)的性質(zhì)

引理1 在條件1-2下，m1(p,α)和m2(p,α)分別是E(Y|P=p)和E(X|P=p)的一致估計(jì)且收斂速度都是n

?2/(dp+4)

(2/(dp+4)>1/4)。

證明 由文獻(xiàn)[8]中定理1的推論2可推得。

引理2(Chebychev不等式) 設(shè)X為隨機(jī)變量，則對(duì)于任意ε>0，

P(|X?E(X)|≥ε)≤var(X)/ε2

定理1 在條件1-3下，

LT?1TT?1?(α)?β)??(0,()()β→NΓΓΓVΓΓΓ) (5) IV

其中V=E[Qi(β)Qi(β)T],Qi(β)=Z#i[Yi?E(Yi|Z*i)?(Xi?E(Xi|Z*i))β],

Γ=E[Z#i(Xi?E(Xi|Z*i))T]。

證明 由引理1知，m1(p,α)和m2(p,α)是一致估計(jì)。再應(yīng)用文獻(xiàn)[16]中定理3或文獻(xiàn)[17]的定理1可得到本定理的結(jié)論。

注1 由定理1可知，參數(shù)分量估計(jì)的收斂速度為n?1/2，與經(jīng)典線性回歸模型參數(shù)的收斂速度一致

[3][11]

。

p

?(α)??→β。 推論1 在條件1-3下，βIV

證明 由定理1和引理2容易推得。

從文獻(xiàn)[8]的引理3可知，

e1T(n?1Z*TWp,αΦp)?1=B(p,α)+op(1) (6)

其中B(p,α)=(B1(p,α),B2(p,α)),B1(p,α)=[A11(p)?A12(p,α)(A22(p,α))?1A21(p)]?1,

B2(p,α)=?(A11(p))?1A12(p,α)[A22(p,α)?A21(p)(A11(p))?1A12(p,α)]?1,A11(p)=fP(p)g0(p),

A12(p,α)=α(p)?3{fP(p)g0(p)∫

T

supp(K)

T

uTDα(p)uuTDK(u)du

T

fP

Tg0

+μ2(K)[dpfP(p)g0(p)Dα(p)+α(p)(g0(p)D(p)+fP(p)D(p))]}

,

A21(p)=fP(p)g1(p),

A22(p,α)=α(p)?3{fP(p)g1(p)∫

T

supp(K)

T

uTDα(p)uuTDK(u)du

T

fP

Tg1

+μ2(K)[dpfP(p)g1(p)Dα(p)+α(p)(g1(p)D(p)+fP(p)D(p))]}[g0(p),(g1(p))T]T=g(p)=E(Z*i|Pi=p)。

,

?IV(p,α,β)=m1(p,α)?m2(p,α)β。 記m

定理2 在條件1-2下，設(shè)p∈supp(fP)?R

dp

為內(nèi)點(diǎn)，則

n

2/(dp+4)

c2?d

?IV(p,α,β)?m(p)]??[m→N(μ2(K)a(p,α),cpR(K)b(p,α)) (7)

2

d

其中a(p,α)=(α(p))?2fP(p)s{Hm(p)}B(p,α)g(p)，

b(p)=(α(p))pfP(p)B(p,α)F(p)B(p,α)T，

??2m(p)?

的對(duì)角元素之和。 F(p)=E(uZ*iZ|Pi=p)，s{Hm(p)}為矩陣Hm(p)=??

???pi?pj??dp×dp

2

i

T*i

d

證明 即文獻(xiàn)[8]中定理1。

引理3 設(shè){Xn}是一個(gè)隨機(jī)變量序列且Xn??→c，設(shè){Yn}是另一個(gè)隨機(jī)變量序列且Yn??→Y,則

LL

Xn+Yn??→c+Y，XnYn??→cY

p

L

證明 該引理的結(jié)論是文獻(xiàn)[3]Proposition 7.3(b)的特例。

定理3 在條件1-32下，設(shè)p∈supp(fP)?R

dp

為內(nèi)點(diǎn)，則

n

2/(dp+4)

c2?d

?IV(p,α)?m(p)]??[m→N(μ2(K)a(p,α),cpR(K)b(p,α)) (8)

2

d

證明 因?yàn)?/p>

n

2/(dp+4)

?IV(p,α)?m(p)]=n[m

2/(dp+4)

?IV(p,α,β)?m(p)]?n[m

2/(dp+4)

?(α)?β) m2(p,α)(βIV

由引理1，

p

m2(p,α)??→E(X|P=p)

所以，應(yīng)用引理3可推出

L?(α)?β)??n1/2m2(p,α)(β→N(0,(E(X|P=p))2(ΓTΓ)?1ΓTVΓ(ΓTΓ)?1) IV

再由Chebychev不等式(引理2)可知

n

2/(dp+4)

p?(α)?β)=n2/(dp+4)?1/2?n1/2m(p,α)(β?(α)?β)??m2(p,α)(β→0 IV2IV

結(jié)合定理2再次應(yīng)用引理3可知定理3成立。

注2 由定理2可知，非參數(shù)分量估計(jì)的收斂速度為n收斂速度

[14-15]

?2/(dp+4)

（達(dá)到了估計(jì)非參數(shù)函數(shù)m的最優(yōu)。另外，參數(shù)分量估計(jì)的收斂速度

），快于非參數(shù)模型回歸函數(shù)估計(jì)的收斂速度n

?2/(dp+dx+4)

為n?1/2。所以，半?yún)?shù)模型的參數(shù)分量和非參數(shù)分量估計(jì)的收斂速度都快于非參數(shù)模型估計(jì)的收斂速度。從而，半?yún)?shù)模型可有效地提高模型估計(jì)的收斂速度。

?IV(p,α)??推論2 在定理3的條件下，m→m(p)。

證明 由定理3和引理2容易推得。

p

?IV(p,α)的漸近均方誤差為 由定理3可推得m

AMSE(p,α,c)=

1n

4/(dp+4)

22?????c??dp

+p(K)a(,)cR(K)b(,)μααp??? (9) 2????2???

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